专题05函数的概念及表示-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

一、关键能力 通过函数概念和函数解析式的学习，从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯，能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题，逐步养成学习者的数学抽象能力。 二、教学建议 在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出 现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。 求简单函数的定义域中，“简单函数”指下列函数： 求简单函数的值域中，简单函数指下列函数： ，及它们之间简单的加减组合（更复杂的组合需在导数复习结束后加入）。 函数概念需要多次接触，反复体会，螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用。 三、自主梳理 1．函数的定义（☆☆☆） 一般地，设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A． 2．函数的定义域、值域（☆☆☆） 在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域． 3．函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．（☆☆☆） 4．表示函数的常用方法有：列表法、图象法和解析法．（☆☆☆） 5．分段函数（☆☆☆） 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 四、真题感悟 1.(2014浙江)已知函数，且，则 A． B． C． D． 【答案】C【解析】由已知得，解得，又，所以，故选C. 2.(2014江西)已知函数，，若，则 A．1 B．2 C．3 D．-1 【答案】A【解析】因为，且，所以，即，解得． 3．（2020北京11）函数的定义域是__________． 【答案】 【解析】要使得函数有意义，则，即，∴定义域为． 4.（2017新课标Ⅲ）设函数，则满足的的取值范围是___． 【答案】【解析】当时，不等式为恒成立； 当，不等式恒成立； 当时，不等式为，解得，即； 综上，的取值范围为．  5. (2014浙江)设函数若，则实数的取值范围是___. 【答案】【解析】结合图形（图略），由，可得，可得． 6.（2017浙江）若函数在区间[0，1]上的最大值是，最小值是，则 A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【答案】B【解析】函数的对称轴为， ①当，此时，，； ②当，此时，，； ③当，此时，或，或．综上，的值与有关，与无关．选B． 7.（2017浙江）已知，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是 ． 【答案】【解析】∵，∴ ①当时，， 所以的最大值，即（舍去） ②当时，，此时命题成立． ③当时，，则 或， 解得或， 综上可得，实数的取值范围是． 8.(2013北京)函数的值域为 ． 【答案】【解析】当时，，当时，，∴值域为． 五、高频考点+重点题型 考点一、定义域 例1.（1）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． （2）（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数的定义域是，则函数的定义域是_______． （1）【答案】C 【解析】 故答案选C （2）【答案】 【解析】 令，根据函数值域的求解方法可求得的值域即为所求的的定义域. 【详解】 令， 则， 在上单调递增，，，， 的定义域为. 故答案为：. 对点训练1.（2021江西省临川高三押题预测卷）已知集合,,则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知条件得,解得,故集合.又,则,故选B. 对点训练2.（2021湖北省荆州中学高三下学期四模）定义域是一个函数的三要素之一,已知函数定义域为,则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由抽象函数的定义域可知,,解得, 所以所求函数的定义域为.故选A. 对点训练3.若函数的定义域为R,则实数a的取值范围为________； 【答案】； 【解析】(1) 的定义域为R,则恒不为零,即没有实数根,所以,所以实数a的取值范围为； 总结：1、给定函数解析式求定义域往往转化为解不等式(组)的问题,在解不等式(组)取交集时可借