2.4 （分层练）圆的方程-2021-2022学年高二数学考点同步解读与训练（人教A版2019选择性必修第一册）

2021-2022年高二数学考点同步解读与训练 2.4 （分层练）圆的方程 题型一 由圆心（或半径）求圆的方程 1．圆关于原点对称的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：圆的圆心，半径等于， 圆心关于原点对称的圆的圆心， 故对称圆的方程为， 故选：． 2．以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以点为圆心且与轴相切的圆的半径为， 故圆的标准方程是. 故选：C. 3．(多选)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则（ ） A．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为 B．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为 C．圆C2的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4 D．圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4 【答案】AD 【解析】根据题意，设圆C2的圆心为(a，b)， 圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为(－1，1)，半径为2，所以圆心C1到直线x－y－1＝0的距离d＝＝. 若圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C1与圆C2的圆心关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为2，则有解得则圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4. 故选：AD. 题型二 求过已知3点的圆的标准方程 1．下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个圆的圆拱跨度米，拱高米，建造时每隔8米需要用一根支柱支撑，则支柱的高度大约是（ ） A．9.7米 B．9.1米 C．8.7米 D．8.1米 【答案】A 【解析】由图以为原点、以为轴，以为轴建立平面直角坐标系， 设圆心坐标为，，， 则圆拱所在圆的方程为， ，解得，， 圆的方程为， 将代入圆的方程，得 . 故选：A 2．如图，在四边形ABCD中，，，且，，AB与CD间的距离为3．求等腰梯形ABCD的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径． 【答案】圆心坐标为,半径长为. 【解析】由题意可知A (-3,0),B (3,0),C 设所求圆的方程为, 则. 解得，故所求圆的方程为, 其圆心坐标为,半径长为. 3．已知的三个顶点分别是点，，，求的外接圆的标准方程． 【答案】 【解析】由题意知，为圆的直径，设圆心为， 则中点即为， 所以半径为， 故外接圆的标准方程为：. 4．已知动圆经过坐标原点，且圆心在直线上. （1）求半径最小时的圆的方程； （2）求证：动圆恒过一个异于点的定点. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为圆心在直线上， 所以设圆心的坐标为. 又因为动圆经过坐标原点， 所以动圆的半径，所以半径的最小值为. 并且此时圆的方程为：. （2）设定点坐标，，因为圆的方程为： 所以， 即， 因为当为变量时，，却能使该等式恒成立， 所以只可能且 即解方程组可得：，或者，（舍去） 所以圆恒过一定点，. 题型三 由圆的标准方程确定圆心和半径 1．圆的圆心和半径分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的标准方程为， 圆的圆心坐标和半径长分别是，故选D. 2．已知一个圆的标准方程为，则此圆的圆心与半径分别为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由圆的标准方程可得，圆心坐标为，半径为. 故选：D. 3．圆的圆心到直线的距离是（ ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】圆的圆心坐标为（1，0）， ∴圆心到直线的距离为. 故选：A. 4．若圆的圆心到直线的距离为，则的值为_________. 【答案】4或2 【解析】圆的圆心为，它到直线的距离为， 故或. 故答案为：4或2. 题型四 圆的一般方程与标准方程之间互化 1．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是（ ） A．(－∞，－1) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D． 【答案】A 【解析】方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1时才能表示圆． 故选：A. 2．当取不同的实数时，由方程可以得到不同的圆，则（ ） A．这些圆的圆心都在直线上 B．这些圆的圆心都在直线上 C．这些圆的圆心都在直线或上 D．这些圆的圆心不在同一条直线上 【答案】A 【解析】由题意知,圆的标准方程：， 圆心，圆心都在直线上． 故选: A 3．若直线平分圆的周长，则 A．9 B．-9 C．1 D．-1 【答案】B 【解析】因为直线平分圆的周长，所以直线经过该圆的圆心，则，即.选B. 4．方程表示一个圆，则m的取值范围是_______ 【答案】 【解析】方程，即表示圆， ，求得，则实数m的取值范围为， 故答案为： 题型五 圆过定点问题 1．对任意实数，圆恒过定点，则其坐