3.3.2 （分层练）抛物线的简单几何性质-2021-2022学年高二数学考点同步解读与训练（人教A版2019选择性必修第一册）

2021-2022年高二数学考点同步解读与训练 3.3.2（分层练）抛物线的简单几何性质 题型一 抛物线的开口方向及开口大小 1．在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（ ） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】由，方程表示焦点在轴上的椭圆， 得表示焦点在轴上开口向左的抛物线. 故选：D. 2．下列关于抛物线的图象描述正确的是（ ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【解析】抛物线，即， 可知抛物线的开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 3．在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中x的系数的关系： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】图象如图，x的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大. 【解析】解:抛物线如图,x的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大. 题型二 抛物线的最值问题 4．若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（ ） A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2 【答案】D 【解析】∵设P为抛物线的任意一点， 则P到焦点的距离等于到准线：x的距离， 显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值． ∴，即p＞2． 故选：D． 5． 已知定点A(－3,0)，B(3,0)，动点P在抛物线y2＝2x上移动，则的最小值等于_________. 【答案】 【解析】设，则，因为，所以，故当时，取得最小值为-. 6．已知为抛物线上的动弦，且（是常数且），为抛物线的焦点，求弦的中点到轴的距离的最小值． 【答案】． 【解析】设点，，的纵坐标分别为，，，F为抛物线的焦点， ，，三点在抛物线准线上的射影分别为，，， 分别连接，，，，，如图所示， 由抛物线的定义，知，， 所以，， 又是线段的中点， 所以 ， 当且仅当过焦点时，等号成立， 即当定长为的弦过焦点时， 点到轴的距离最小，最小距离为． 7．已知抛物线y2＝8x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围； (2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长． 【答案】（1）见解析； （2）2 ＋4 . 【解析】(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)， x＝－2，x轴，x≥0. (2)如图所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M， 又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝ |OM|. 因为F(2,0)，所以|OM|＝|OF|＝3. 所以M(3,0)．故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24. 所以m＝2或m＝－2. 所以A(3,2)，B(3，－2)． 所以|OA|＝|OB|＝ . 所以△OAB的周长为2＋4. 题型三 抛物线的对称轴及应用 8．如图，一个杯座圆放置在水平桌面上且内壁光滑的酒杯，杯身的轴截面图形是顶点为O、焦点为的抛物线，，为杯口圆的圆心，足够长，杯脚．现有一根长的细木棍放在此酒杯的杯身内，的中点在桌面上的投影为，则下列命题正确的是（ ） A．若，则的最小值为 B．若，则的最小值为 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 如图：以为原点，以所在的直线为轴，过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，因为，所以焦点为的抛物线的方程为， 因为的中点在桌面上的投影为，所以轴， 由分析可知：当时，此时木棍与轴垂直时，最小， 当时，过焦点时，最小， 当时，对于，令可得， 如图：此时中点为与轴的交点，投影点即为点，此时 此时最小为，即当时，最小为， 可得当，则的最小值为，故选项C正确； 当时，最小为，故选项A不正确； 当时，最小为，故选项D正确； 当时，过焦点时，最小， 如图作垂直于准线与点，作垂直于准线与点， 的中点在准线上的投影为， 由抛物线的定义可得，所以， 而，所以，此时的最小值为， 故选B正确， 故选：BCD. 9．已知曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于3的动点的轨迹，则曲线的一条对称轴方程是________，的最小值是________. 【答案】 【解析】设，由题意可得，即， 当，即或时，无解； 当时，，则，此时曲线的一条对称轴方程是；；即此时的最小值是； 当时，，则，此时曲线的一条对称轴方程是；；即此时的最小值是； 综上，的最小值是. 故答案为：；. 10．已知曲线下面给出的三个问题，从中任选出一个问题，然后对选择的问题进行求解. ①若写出曲线的方程，指出曲线的名称，并求出该曲线的对称轴方程､顶点坐标､焦点坐标､及的取值范围； ②若写出曲线的方程，并求经