第04讲 两条直线的交点-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

第1章 直线与方程 第04讲 两条直线的交点 课程标准 重难点 1. 能用解方程组的方法求两直线的交点 2. 掌握两直线相交的条件 1.两条直线交点的求解 SHAPE \* MERGEFORMAT 知识点一　两条直线的交点 1．两直线的交点坐标 几何元素及关系 代数表示 点A A(a，b) 直线l l：Ax＋By＋C＝0 点A在直线l上 Aa＋Bb＋C＝0 直线l1与l2的交点是A 方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝a,y＝b)) 2．两直线的位置关系 方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 【概念解读】两直线相交的条件 (1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交． (2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或eq \f(A1,A2)≠eq \f(B1,B2)(A2，B2≠0)． (3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2. SHAPE \* MERGEFORMAT 考法01 求两直线的交点坐标 SHAPE \* MERGEFORMAT 【例1】判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l1：5x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0； (2)l1：2x－6y＋3＝0，l2：y＝eq \f(1,3)x＋eq \f(1,2)； (3)l1：2x－6y＝0，l2：y＝eq \f(1,3)x＋eq \f(1,2). 【解析】(1)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(10,3)，,y＝\f(14,3).)) 所以l1与l2相交，且交点坐标为 . (2)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－6y＋3＝0，①,y＝\f(1,3)x＋\f(1,2)，②)) ②×6整理得2x－6y＋3＝0. 因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合． (3)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－6y＝0，①,y＝\f(1,3)x＋\f(1,2)，②)) ②×6－①得3＝0，矛盾． 方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2. 【跟踪训练】 1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0. 【解析】(1)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋y＋3＝0，,x－2y－1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，))所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)． (2)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＋2＝0，①,2x＋2y＋3＝0，②))①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2. 【方法总结】 判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． (1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． (2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 考法02 直线过定点问题　 SHAPE \* MERGEFORMAT 求证：不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过某一定点． 【解析】法一：取m＝1时，直线方程为y＝－4；取m＝eq \f(1,2)时，直线方程为x＝9. 两直线的交点为P(9，－4)，将点P的坐标代入原方程左边＝(m－1)×9＋(2m－1)×(－4)＝m－5. 故不论m取何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上， 即直线恒过点P(9，－4)． 法二：原方程化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0. 若对任意m都成立， 则有eq \b\lc\