第01讲 直线的斜率与倾斜角-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

第1章 直线与方程 第01讲 直线的斜率与倾斜角 课程标准 重难点 1. 理解直线的斜率和倾斜角的概念； 2. 理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性； 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率． 1.倾斜角永远存在但斜率不一定 2.倾斜角与斜率的计算 SHAPE \* MERGEFORMAT 知识点一　直线的倾斜角 在平面直角坐标系中，当直线 与 轴相交时，我们以 轴为基准， 轴正向与直线 向上的方向之间所成的角叫做直线 的倾斜角。 规定：当直线和 轴平行或重合时，直线倾斜角为 ，所以倾斜角 的范围是 ． 【概念解读】 1.要清楚定义中含有的三个条件：①直线向上方向；② 轴正向；③小于 的角. 2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角. 3.倾斜角 的范围是 .当 时，直线与x轴平行或与x轴重合. 4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应. 5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置. 知识点二　直线的斜率 斜率的定义 1..倾斜角不是 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用 表示，即 ． 2.概念解读：当直线 与x轴平行或重合时，=0°，k=tan0°=0；直线 与x轴垂直时，=90°，k不存在。由此可知，一条直线 的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在. 3.直线的倾斜角 与斜率 之间的关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 斜率公式 1.斜率公式：已知点 、 ，且 与 轴不垂直，过两点 、 的直线的斜率公式 . 【概念解读】 对于上面的斜率公式要注意下面五点： (1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90°，直线与x轴垂直； (2)k与P1、P2顺序无关，即y1，y2和x1，x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； (3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； (4)当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角=0°，直线与x轴平行或重合； (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． SHAPE \* MERGEFORMAT 考法01 直线的倾斜角 SHAPE \* MERGEFORMAT 设直线 过原点，其倾斜角为 ，将直线 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线 ，则直线 1的倾斜角为 【答案】当0°≤ ＜135°时，为 +45°，当135°≤ ＜180°时，为 －135° 【解析】倾斜角的范围是[0°，180°），因此，只有当 +45°∈[0°，180°），即当0°≤ ＜135°时， 的倾斜角才是 +45°，而当135°≤ ＜180°时， 的倾斜角为 －135°．故应选D． 【跟踪训练】 1.已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________． 【答案】60°或120° 【解析】有两种情况：①如图（1），直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图（2），直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 【方法总结】 1.解答此类问题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答． 2.求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． 考法02 直线的斜率 SHAPE \* MERGEFORMAT 【例2】如图所示，直线 的倾斜角 ，直线 与 垂直，求 ， 的斜率． 【解析】由图形可知， ，则k1，k2可求． 直线 的斜率 ． ∵直线 的倾斜角 =90°+30°=120°， ∴直线 的斜率k2=tan120°=tan(180°―60°)=―tan60°= ． 【跟踪训练】 2.若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m＝________. 【答案】1.2 【解析】tan 45°＝eq \f(2－3,1－m)，得m＝2. 3.经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________(其中m≥1)． 【答案】2.0°<α≤90° 【解析】当m＝1时，直线与x轴垂直，此时斜率不存在，倾斜角为90°.当m>1时，直线的斜率为k＝eq \f(yA－yB,xA－xB)＝eq \f(3－2,m－1)＝eq \f(1,m－1)，因为m>1，所以k>0，故直线的倾斜角的取值范围为0°<α<90°.综上可知，直线的倾斜角α的取值范围是0°<α