专题六 函数的周期性-2022年高考数学之解密函数命题点对点突破（全国通用）

专题六　函数的周期性 1．周期函数的定义 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．如果T是函数y＝f(x)的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)；如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 2．函数周期性常用的结论 结论1：若f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)的一个周期为2a； 结论2：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的一个周期为2a； 结论3：若f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a； 结论4：若f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a≠0)，则f(x)的一个周期为6a； 结论5：若f(x＋a)＝，则f(x)的一个周期为2a； 结论6：若f(x＋a)＝－，则f(x)的一个周期为2a； 结论7：若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|． 结论8：若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|． 结论9：若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|． 结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差． 总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一．即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立． 考点一　已知函数的周期性(显性的)，求函数值 【方法总结】 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． 【例题选讲】 [例1] (1)若f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝__________． 答案　－1　解析　由f(x＋2)＝f(x)可得f(3)－f(4)＝f(1)－f(2)＝1－2＝－1． (2)设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2，1)时，f(x)＝则f＝________． 答案　　解析　由题意可得f＝f＝f＝4×2－2＝，f＝． (3) (2016·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝其中a∈R．若＝，则f(5a)的值是________． 答案　－　解析：由题意可得＝f＝－＋a，＝f＝＝，则－＋a＝，a＝，故f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋＝－． (4)(2018·江苏)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________． 答案　　解析　由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝＝，所以f(f(15))＝f＝cos＝． (5)定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值等于(　　) A．403　　　　　　　B．405　　　　　　　C．806　　　　　　　D．809 答案　B　解析　定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1．故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405． 【对点训练】 1．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区 间[0，6]上与x轴的交点个数为________． 1．答案　7　解析　因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x．又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0) ＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0．又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个． 2．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝其中a，b∈ R．若f ＝f，则a＋3b的值为________． 2．答案　－10　解析　因为f(x)是