考向20 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及其应用（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

考向20 函数的图像及其应用 1．（2021·全国高考真题（理））把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 解法一：从函数 的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到 ，即得 ，再利用换元思想求得 的解析表达式； 解法二：从函数 出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到 的解析表达式. 【详解】 解法一：函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到 的图象，再把所得曲线向右平移 个单位长度，应当得到 的图象， 根据已知得到了函数 的图象，所以 ， 令 ,则 , 所以 ,所以 ； 解法二：由已知的函数 逆向变换， 第一步：向左平移 个单位长度，得到 的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象， 即为 的图象，所以 . 故选：B. 2．（2020·海南高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC= ， ，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2． 【答案】 【分析】 利用 求出圆弧 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形 的面积，求出直角 的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得. 【详解】 设 ，由题意 ， ，所以 ， 因为 ,所以 ， 因为 ，所以 ， 因为 与圆弧 相切于 点，所以 ， 即 为等腰直角三角形； 在直角 中， ， ， 因为 ，所以 ， 解得 ； 等腰直角 的面积为 ； 扇形 的面积 ， 所以阴影部分的面积为 . 故答案为： . 【点睛】 本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针. 1. 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)的部分图象求A的方法： (1)利用极值点的纵坐标求A；(2)把某点的坐标代入求A. 2. 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)的部分图象求ω的方法： 由ω＝eq \f(2π,T),即可求出ω.常用结论：(1)相邻两个极大（小）值点之间的距离为 ；(2)相邻两个零点之间的距离为 ；(3)极值点到相邻的零点,自变量取值区间长度为 . 3.已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)的部分图象求φ的方法： 求φ的值时最好选用最值点求． 峰点：ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ； 谷点：ωx＋φ＝－eq \f(π,2)＋2kπ. 也可用零点求,但要区分该零点是升零点,还是降零点． 升零点(图象上升时与x轴的交点)：ωx＋φ＝2kπ； 降零点(图象下降时与x轴的交点)：ωx＋φ＝π＋2kπ(以上k∈Z)． 此外也可以把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)． 1.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0,x∈R)一个周期内的简图,列表如下： x eq \f(0－φ,ω) eq \f(\f(π,2)－φ,ω) eq \f(π－φ,ω) eq \f(\f(3π,2)－φ,ω) eq \f(2π－φ,ω) ωx＋φ 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π 2.三角函数的图象变换,有两种选择：一是先伸缩再平移,二是先平移再伸缩．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径 【知识拓展】 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的物理意义 简谐运动的图象所对应的函数解析式y＝Asin(ωx＋φ),x∈[0,＋∞),其中A>0,ω>0.在物理中,描述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T＝ ,这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f＝eq \f(1,T)给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相． 1．（2021·四川省华蓥中学高三其他模拟（理））已知函数 的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 且 的图象关于点 对称，则下列判断不正确的是（ ） A．要得到函数 的图象，只需将 的图象向右平移 个单位 B．函数 的图象关于直线 对称 C． 时，函数 的最