专题五 函数的奇偶性-2022年高考数学之解密函数命题点对点突破（全国通用）

专题五　函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 (1)奇偶性的定义 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 (2)函数奇偶性常用结论 结论1：如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有意义，那么f(0)＝0． 结论2：如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)． 结论3：若函数y＝f(x＋b)是定义在R上的奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称． 结论4：若函数y＝f(x＋a)是定义在R上的偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称． 结论5：已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0．特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0． 推论1：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c． 推论2：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(x)max＋g(x)min＝2c． 结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇奇＝偶，偶偶＝偶，奇偶＝奇． 结论7：若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记g(x)＝[f(x)＋f(－x)]，h(x)＝[f(x)－f(－x)]，则f(x)＝g(x)＋h(x)． 结论8：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性． 结论9：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 结论10：复合函数y＝f[g(x)]的奇偶性：内偶则偶，两奇为奇． 结论11：指数型函数的奇偶性 (1)函数f(x)＝ax＋a－x(a>0且a≠1)是偶函数； (2)函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)是奇函数； (3)函数f(x)＝ (a>0且a≠1)是奇函数； (4)函数f(x)＝＝ (a>0且a≠1)是奇函数； 结论12：对数型函数的奇偶性 (1)函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)是奇函数；函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)是奇函数； (2)函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)是奇函数；函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)是奇函数； (3)函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)是奇函数；函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)是奇函数； (4)函数f(x)＝loga(±mx)(a>0且a≠1)是奇函数． 2．函数的对称性(奇偶性的推广) (1)函数的轴对称 定理1：如果函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． 推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0（y轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化． (2)函数的点对称 定理2：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称． 推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称． 推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化． (3)两个等价关系 若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价： f(a＋x)＝f(a－x)f(2a－x)＝f(x)f(2a＋x)＝f(－x) 若函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称，则以下三式成立且等价： f(a＋x)＝－f(a－x)f(2a－x)＝－f(x)f(2a＋x)＝－f(－x) 考点一　判断函数的奇偶性 【方法总结】 判断函数的奇偶性：首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断．分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．用函数奇偶性常用结论6或特值法可秒杀． 【例题选讲】 [例1](1)下列函数为偶