专题四 函数的最值(值域)-2022年高考数学之解密函数命题点对点突破（全国通用）

专题四　函数的最值(值域) 1．最大值与最小值的定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． (2)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值． 2．常用结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值． 考点一　单调性法 【方法总结】 利用函数的单调性求最值的方法 如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性(增、减)即可快速求出函数的最值(值域)． (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． (3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值． (4)如果函数定义域为闭区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势． (5)在利用单调性求值域时，若定义域有一侧趋近于或，则要估计当或时，函数值是向一个常数无限接近还是也趋近于或(即函数图象是否有水平渐近线)，同样若的定义域抠去了某点或有一侧取不到边界，如，则要确定当时，的值是接近与一个常数(即临界值)还是趋向或（即函数图象是否有竖直渐近线），这样可以使得值域更加准确． 【例题选讲】 [例1] (1) 已知函数f(x)＝，则函数f(x)在x∈[2，8]上的最大值为________． 答案　2　解析　f(x)＝＝1＋，在(0，＋∞)上为单调递减函数，在x∈[2，8]上，f(x)的最大值为f(2)＝2． (2) 函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________． 答案　3　解析　∵y＝x和y＝－log2(x＋2)都是[－1，1]上的减函数，∴f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1，1]上是减函数，∴函数f(x)在区间[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3． (3) 定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于(　 　) A．－1　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．6　　　　　　　　D．12 答案　C　解析　由题意知当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1<x≤2时，f(x)＝x3－2，又f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在相应的定义域内都为增函数，且f(1)＝－1，f(2)＝6，∴f(x)的最大值为6． (4) 若函数f(x)＝－＋b(a>0)在上的值域为，则a＝________，b＝________． 答案　1　　解析　∵f(x)＝－＋b(a>0)在上是增函数，∴f(x)min＝f＝，f(x)max＝f(2)＝2．即解得a＝1，b＝． (5) 设函数f(x)＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则＝(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 答案　D　解析　易知f(x)＝＝2＋，所以f(x)在区间[3，4]上单调递减，所以M＝f(3)＝2＋＝6，m＝f(4)＝2＋＝4，所以＝＝． 【对点训练】 1．函数f(x)＝在[－6，－2]上的最大值是________；最小值是________． 2．已知函数f(x)＝则f(x)的最小值是________． 3．已知函数f(x)＝． (1)写出函数f(x)的定义域和值域； (2)证明：函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，并求f(x)在x∈[2，8]上的最大值和最小值． 4．已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)． (1)当a＝时，用定义证明函数的单调性并求函数f(x)的最小值； (2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围． 考点二　图象法 【方法总结】 即作出函数的图像，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合． (1)分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域． (2)的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该函数的图像，从而利用图像求得函数的值域． 图象法求函数最值的一般步骤 【例题选讲】 [例2] (1) 函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为_______