专题三 函数的单调性-2022年高考数学之解密函数命题点对点突破（全国通用）

专题三　函数的单调性 1．增函数、减函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2．单调性、单调区间的定义 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开． 2．常用结论 结论1：增函数与减函数形式的等价变形 y＝f(x)在区间D上是增函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)<f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0； y＝f(x)在区间D上是减函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)>f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0． 结论2：单调性的运算性质 (1)函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性． (2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反． (3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)＞0)与和具有相同的单调性． (4)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝单调性相反． (5)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数． (6)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，且f(x)＞0，g(x)＞0，则f(x)•g(x)也是区间A上的增(减)函数． 结论3：复合函数的单调性 复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．简记：“同增异减”． 结论4：奇函数与偶函数的单调性 奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反． 结论5：对勾函数与飘带函数的单调性 对勾函数：f(x)＝ax＋(ab＞0) (1)当a＞0，b＞0时，f(x)在(－∞，－]，[，＋∞)上是增函数，在[－，0)，(0，]上是减函数； (2)当a＜0，b＜0时，f(x)在(－∞，－]，[，＋∞)上是减函数，在[－，0)，(0，]上是增函数； 飘带函数：f(x)＝ax＋(ab＜0) 　　　　　 (1)当a＞0，b＜0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数； (2)当a＜0，b＞0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数； 考点一　确定函数的单调性或单调区间 【方法总结】 确定函数的单调性或单调区间的常用方法 (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数确定函数的单调性或单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性的定义确定函数的单调性或单调区间． (3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性确定函数的单调性或单调区间． 【例题选讲】 [例1] (1) 下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(　　) A．y＝－x　　　B．y＝x2－x　　　C．y＝ln x－x　　　D．y＝ex－x 答案　A　解析　对于选项A，y1＝在(0，＋∞)内是减函数，y2＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝－x在(0，＋∞)内是减函数，故选A． (2) 下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是(　　) A．f(x)＝2x　　　　B．f(x)＝|x－1|　　　　C．f(x)＝－x　　　　D．f(x)＝ln(x＋1) 答案　C　解析　由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A、D选项中，f(x)为增函数；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调；对于f(x)＝－x，因为y＝与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数． (3) 函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　) A．　　B．和[2，＋∞)　　C．(－∞，1]和　　D．和[2，＋∞) 答案　B　解析　y＝|x2－3x＋2|＝如图所示，函数的单调递