专题二　函数的解析式与分段函数-2022年高考数学之解密函数命题点对点突破（全国通用）

专题二　函数的解析式与分段函数 1．函数的表示方法 函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示． 2．应用三种方法表示函数的注意事项 (1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域； (2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； (3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点． 3．函数的三种表示方法的优缺点 优点 缺点 解析法 简明扼要，规范准确 (1)有些函数关系很难或不能用解析式表示； (2)求x与y的对应关系时需逐个计算，比较繁杂 列表法 能鲜明地显示自变量与函数值之间的数量关系 只能列出部分自变量及其对应的函数值，难以反映函数变化的全貌 图象法 形象直观，能清晰地呈现函数的增减变化、点的对称关系、最大(小)值等性质 作出的图象是近似的、局部的，且根据图象确定的函数值往往有误差 4．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 5．分段函数的相关结论 (1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交． 考点一　求函数的解析式 【方法总结】 函数解析式的常见求法 (1)配凑法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)的问题，往往把右边的g(x)整理或配凑成只含h(x)的式子，然后用x将h(x)代换． (2)换元法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)时，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围． (3)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可． (4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f(或f(－x))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． 【例题选讲】 [例1] (1) 已知＝＋，则f(x)＝__________； 答案　x2－x＋1　解析　(配凑法)＝＋＝2－＋1．令＝t(t≠1)，得f(t)＝t2－t＋1，即f(x)＝x2－x＋1． (2) 已知＝lg x，则f(x)＝__________； 答案　lg(x>1)　解析　(换元法)令＋1＝t，得x＝，代入得f(t)＝lg，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg，x∈(1，＋∞)． (3) 已知f(x)是二次函数，且f(0)＝2，f(x＋1)＝f(x)＋x＋3，则f(x)＝__________； 答案　x2＋x＋2　解析　(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝c＝2，得f(x)＝ax2＋bx＋2，则f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝2ax＋a＋b＝x＋3，所以2a＝1，且a＋b＝3，解得a＝，b＝，故f(x)＝x2＋x＋2． (4) 已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，则f(x)＝__________； 答案　　解析　(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①．得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②．①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x．即f(x)＝．故f(x)的解析式是f(x)＝(x∈R)． (5) 若函数f(x)满足方程af(x)＋f＝ax，x∈R，且x≠0，a为常数，a≠±1，且a≠0，则f(x)＝________． 答案　　解析　(解方程组法)因为af(x)＋f＝ax，所以af＋f(x)＝，两方程联立解得f(x)＝． 【对点训练】 1．已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________________． 1．答案　x2－1(x≥1)　解析　设t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t ＋1＋2t－2＝t2－1．故f(x)＝x2－1，x≥1． 2．已知函数f(x－1)＝，则函数f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝　　　　B．f(x)＝　　　　C．f(x)＝　　　　D．f(x)＝ 2．答案　A　解析　令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝，即f(x)＝．故选A． 3．已知＝x2＋，则f(x)＝________________． 3．答案　x2－2(x≥2或x≤－2)　解析　由于＝x2＋＝2－2，所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－ 2，故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2． 4．若二次