1.1 空间向量及其运算-2021-2022学年高二数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019选择性必修第一册）

第1章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 学习导航 1、 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2、 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3、 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直 教学过程 一、空间向量的概念 1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. 4．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 例题1 1．在如图所示空间直角坐标系内，正方体的棱长为1，则棱中点的坐标为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 分析：根据空间直角坐标系，求得B、B1的坐标，根据中点坐标公式即可求得中点坐标． 详解：由空间直角坐标系可知， 所以BB1中点坐标为 所以选A 2、 空间向量的线性运算 1、 加法：a＋b＝＋ ＝ 2、减法：a－b＝－＝ 3、数乘：当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 4、 运算律：交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 例题2 2．在平面四边形中，等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据向量的减法与加法法则可化简. 【详解】 因为, 所以. 故选：A 3、 共线向量、共面向量 1、共线向量： （1）空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. （2）直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 2、共面向量： （1）向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. （2）如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 例题3 3．下列各组向量中不平行的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】 利用向量共线的定义，逐个判断选项即可 【详解】 对于A，有，所以与是平行向量； 对于B，有，所以与是平行向量； 对于C，是零向量，与是平行向量； 对于D，不满足，所以与不是平行向量. 故选：D． 4、 空间向量的夹角 1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 5、 空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 2、 性质： ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 3、 运算规律： ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 例题4 4．已知，均为单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】 根据向量模长的计算公式代入求解即可. 【详解】 . 故选：C 6、 向量a的投影 1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． 2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 例题5 5．平行六面体（底面为平行四边