22.2.1 直接开平方法和因式分解法-2021-2022学年九年级数学上册同步教学辅导讲义（华东师大版）

22.2.1直接开平方法和因式分解法 基础知识 1、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 2、直接开平方法是解一元二次方程最基本的解法，它的理论依据是平方根的定义。用此法可解出形如 ， 的一元二次方程。 形如 的根是 （能简化的要简化），特别的，当 时，要写为 ；当 时，方程无实数解。 形如 根是 （能简化的要简化），特别的，当 时，要写为 。当 时，方程无实数解。 3、因式分解法 当一元二次方程一边是零，而另一边易于分解成两个一次因式时,可以让每个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，分别解这两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的两个解，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 4、因式分解法解一元二次方程的基本程序是：①方程右边化为零；②方程左边分解因式；③转化为两个一元一次方程。 例题 例．选择适当的方法解下列一元二次方程． （1） ； （2）x(3-2x)=2x-3． 【答案】（1） ；（2） 【分析】 （1）根据直接开平方法即可求解； （2）根据因式分解法即可求解． 【详解】 解：（1） （2）x(3-2x)=2x-3 或 ． 【点睛】 此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知方程的解法． 练习 1．方程 的根为（ ） A． B． C． D． 2．方程 的解为（ ） A． 或 B． 或 C． D． 3．方程(x﹣1)(x+2)＝x﹣1的解是(　　) A．x＝﹣2 B．x1＝1，x2＝﹣2 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝﹣1，x2＝3 4．方程x2＝2x的解是（ ） A．x＝2 B． C．x＝0 D．x＝2或x＝0 5．一元二次方程x2﹣9＝0的两根分别是a，b，且a＞b，则2a﹣b的值为（ ） A．3 B．﹣3 C．6 D．9 6．方程 的解是（ ） A．2或0 B．±2或0 C．2 D．－2或0 7．已知一元二次方程 的一个根为0，则 ________． 8．方程 的解是_____． 9．方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是_____． 10．方程（x+1）2＝4的解是_____． 11．用直接开平方法解方程： （1） (x﹣3)2=9． （2） 12．用因式分解法解下列方程： （1）3（x+2）2＝2（x+2）； （2）（2x+3）2-25＝0． 13．解方程： （1） ． （2） ． （3） ． （4）解方程： ． 14．解方程： 参考答案 1．D 【分析】 将方程常数项移到方程右边，利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程，求出解即可． 【详解】 ， 变形得： ， 开方得： ， 故选：D． 【点睛】 此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 2．B 【分析】 两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】 解： ， 开方，得x-3=±1， 解得：x=4或x=2， 故选：B． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 3．C 【分析】 方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】 解：方程整理得：(x﹣1)(x+2)﹣(x﹣1)＝0， 分解因式得：(x﹣1)(x+1)＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝1， 故选：C． 【点睛】 本题考查了一元二次方程解法，熟练利用因式分解法解一元二次方程是关键，注意不要两边同时除以(x﹣1)，因为(x﹣1)可能为0． 4．D 【分析】 利用解一元二次方程的因式分解法，即可求解 【详解】 解：x2＝2x， 移项得：x2﹣2x＝0， 分解因式得：x（x﹣2）＝0， 可得x＝0或x﹣2＝0， 解得：x1＝0，x2＝2． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法，是解题的关键. 5．D 【分析】 运用直接开平方法解方程得到a和b的值，然后计算2a﹣b的值． 【详解】 解：解方程x2﹣9＝0得a＝3，b＝﹣3， 所以2a﹣b＝2×3﹣（﹣3）＝9． 故选：D． 【点睛】 本题考查了直接开平方法解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解答此题的关键 6．B 【分析】 首先提公因式，再根据平方差公式分解因式，即可得出结论． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴ 或 或 ， 故选：B． 【点睛】 本题考查了高次方程，运用类比思想将高次方程转化为二次方程或一次方程是解题的关键． 7．-2 【分析】 把x=0代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程可以求得m的值．