专题六　函数的奇偶性、周期性与单调性的综合问题-2022年高考数学之函数三大性质专项突破（全国通用）

专题六　函数的奇偶性、周期性与单调性的综合问题 函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．主要题型有奇偶性、周期性及单调性的判断，比较大小以及多结论的正误判断等． 题型一　奇偶性、周期性与单调性的判断 【例题选讲】 [例1](1)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数　　B．f(x)是增函数　　C．f(x)是周期函数　　D．f(x)的值域为[－1，＋∞) 答案　D　解析　因为f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，所以f(－π)≠f(π)，所以函数f(x)不是偶函数，排除A；因为函数f(x)在(－2π，－π)上单调递减，排除B；函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)不是周期函数，排除C；因为x>0时，f(x)>1，x≤0时，－1≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域为[－1，＋∞)． (2)已知函数f(x)＝loga(ax＋1)＋x(a>0且a≠1)，则(　　) A．f(x)图象关于原点对称　　　　　　　　　　B．f(x)图象关于y轴对称 C．f(x)在R上单调递增　　　　　　　　　　　D．f(x)在R上单调递减 答案　C　解析　∵f(x)＋f(－x)≠0，f(x)－f(－x)≠0，可知f(x)为非奇非偶函数，故排除A，B；当a>1时，u＝ax＋1在R上单调递增，y＝logau在(1，＋∞)上单调递增，且y＝x在R上单调递增，∴f(x)在R上单调递增；当0<a<1时，u＝ax＋1在R上单调递减，y＝logau在(1，＋∞)上单调递减，且y＝x在R上单调递增，∴f(x)在R上单调递增，故选C． [题后悟通]　对于函数奇偶性、周期性与单调性的判断问题主要是应用奇偶性、周期性与单调性的定义及相关结论解决．当然对于选填题也可用特值法秒杀． 【对点训练】 1．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且f(x)＝f(x＋6)，当x∈[0，3]时，f(x)单调递增，则f(x)在下列 哪个区间上单调递减(　　) A．[3，7]　　　　　　　B．[4，5]　　　　　　　C．[5，8]　　　　　　　D．[6，10] 2．定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝(1－x)，则f(x)在区间内 是(　　) A．减函数且f(x)>0　　B．减函数且f(x)<0　　C．增函数且f(x)>0　　D．增函数且f(x)<0 3．已知函数f(x)＝ex－1－e－x＋1，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期是1　　　　　　　　B．函数f(x)是单调递减函数 C．函数f(x)的图象关于直线x＝1轴对称　　　D．函数f(x)的图象关于(1，0)中心对称 4．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋1)＝，若f(x)在[－1，0]上是减函数，那么f(x)在[2， 3]上是(　　) A．增函数　　　　B．减函数　　　　C．先增后减的函数　　　　D．先减后增的函数 5．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，当x∈(0，1)时，f(x)＝则f(x) 在区间内是(　　) A．增函数且f(x)>0　　B．增函数且f(x)<0　　C．减函数且f(x)>0　　D．减函数且f(x)<0 6．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)是偶函数　　　　　　　　　　B．函数f(x)是减函数　 C．函数f(x)是周期函数　　　　　　　　　D．函数f(x)的值域为[－1，＋∞) 题型二　比较函数值的大小 【例题选讲】 [例2](1)已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0，1]上是单调递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　) A．f(0)<f(－6.5)<f(－1)　　　　　　　　　　　　B．f(－6.5)<f(0)<f(－1) C．f(－1)<f(－6.5)<f(0)　　　　　　　　　　　　D．f(－1)<f(0)<f(－6.5) 答案　A　解析　由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2．∵函数f(x)为偶函数，∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．∵f(x)在区间[0，1]上是单调递增的，∴f(0)<f(0.5)<f(1)，即f(0)<f(－6.5)<f(－1)． (2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则(　　) A．f(－25)＜f(11)＜f(80)　　　　　　　　　　B．f(80)＜f(1