专题五　奇偶性与单调性的综合问题-2022年高考数学之函数三大性质专项突破（全国通用）

专题五　奇偶性与单调性的综合问题 奇偶性与单调性的综合问题主要包括：奇偶性与单调性的判断，利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小以及解不等式等． 题型一　奇偶性与单调性的判断 【例题选讲】 [例1](1)下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是(　　) A．y＝|log3x|　　　　　B．y＝x3　　　　　C．y＝e|x|　　　　　D．y＝cos |x| 答案　C　解析　对于A选项，函数定义域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函数，显然B项中，y＝x3是奇函数．对于C选项，函数的定义域是R，是偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增，正确．对于D选项，y＝cos |x|在(0，1)上单调递减． (2)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)是奇函数，且在(－∞，－1)上是减函数 B．函数f(x)是奇函数，且在(－∞，－1)上是增函数 C．函数f(x)是偶函数，且在(－∞，－1)上是减函数 D．函数f(x)是偶函数，且在(－∞，－1)上是增函数 答案　A　解析　由题意，函数f(x)＝，可得其定义域为R，又由f(－x)＝＝－＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，当x∈(－∞，－1)时，f(x)＝＝x·ex，则f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，则f′(x)<0，函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，故选A. (3) (2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　) A．f(x)在(0，2)上单调递增　　　　　　　　　　B．f(x)在(0，2)上单调递减 C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称　　　　　　D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 答案　C　解析　f(x)的定义域为(0，2)．f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．设u＝－x2＋2x，x∈(0，2)，则u＝－x2＋2x在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．又y＝ln u在其定义域上单调递增，∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．∴选项A，B错误；∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确；∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0，∴f(x)的图象不关于点(1，0)对称，∴选项D错误．故选C． (4)设函数f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函数，则(　　) A．m＝1，且f(x)在(0，1)上是增函数　　　　　　B．m＝1，且f(x)在(0，1)上是减函数 C．m＝－1，且f(x)在(0，1)上是增函数　　　　　D．m＝－1，且f(x)在(0，1)上是减函数 答案　B　解析　因为函数f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函数，所以f ＝f ，则(m－1)ln 3＝0，即m＝1，则f(x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)＝ln(1－x2)，因为当x∈(0，1)时，y＝1－x2是减函数，故f(x)在(0，1)上是减函数．故选B． (5)(2019·北京)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________． 答案　－1　(－∞，0]　解析　因为f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)的定义域为R，所以f(0)＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，所以a＝－1．因为f(x)＝ex＋ae－x，所以f′(x)＝ex－ae－x＝ex－．因为f(x)是R上的增函数，所以f′(x)≥0在R上恒成立，即ex≥在R上恒成立，所以a≤e2x在R上恒成立．又e2x＞0，所以a≤0，即a的取值范围是(－∞，0]． [题后悟通]　对于函数奇偶性与单调性的判断问题主要是应用奇偶性与单调性的定义及相关结论解决．当然对于选填题也可用特值法秒杀． 【对点训练】 1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝　　　　　B．y＝|x|－1　　　　　C．y＝lg x　　　　　D．y＝ 2．下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝ex＋e－x　　　　　B．y＝ln(|x|＋1)　　　　　C．y＝　　　　　D．y＝x－ 3．已知函数f(x－1)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的图象可能是(　　) 4．已知f(x)＝，则下列正确的是(　　) A．奇函数，在R上为增函数　　　　　　B．偶函数，在R上为增函数 C．奇函数，在R上为减函数　　　　　　D．偶函数，在R