专题四　奇偶性与周期性的综合问题-2022年高考数学之函数三大性质专项突破（全国通用）

专题四　奇偶性与周期性的综合问题 周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．常利用奇偶性及周期性进行交换，即将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 题型一　已知函数的奇偶性与周期性，求函数值 【例题选讲】 [例1](1)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝________． 答案　－　解析　由题意可知，f＝f＝－f＝－2××＝－． (2)已知f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 019)＝(　　) A．5　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．－2 答案　D　解析　由题意得f(2 019)＝f(4×505－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－(21＋log21)＝－2，故选D． (3)设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2，0)∪(0，2]上，f(x)＝则f(2 021)＝________． 答案　－　解析　设0<x≤2，则－2≤－x<0，f(－x)＝－ax＋b．因为f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－ax＋1＝－ax＋b，所以b＝1.而f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)，所以－2a＋b＝2a－1，解得a＝，所以f(2 021)＝f(1)＝×1－1＝－． (4)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2，0)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)等于(　　) A．－2　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．－98　　　　　　　　D．98 答案　B　解析　由f(x＋4)＝f(x)知，f(x)是周期为4的函数，f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)，又f(x＋4)＝f(x)，∴f(3)＝f(－1)，由－1∈(－2，0)得f(－1)＝2，∴f(2 019)＝2． (5)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(x＋4)，且当x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋，则f(log220)＝(　　) A．1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．－1　　　　　　　　D．－ 答案　C　解析　因为x∈R，且f(－x)＝－f(x)，所以函数为奇函数．因为f(x)＝f(x＋4)，所以函数的周期为4．故f(log220)＝f(log220－4)＝f ＝－f ＝－f ＝－＝－＝－1．故选C． (6)(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________． 答案　6　解析　∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6． (7) (2016·四川)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则＋f(2)＝__________． 答案　－2　解析：因为函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，所以f(0)＝0，f(x＋2)＝f(x)，所以＋f(2)＝f＋f(0)＝f＋0＝－f＝－4＝－2. (8)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝________． 答案　　解析　由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f＋f＝f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋sin ＝． [题后悟通]　已知函数的奇偶性与周期性(显性)，可利用奇偶性与周期性，将其他区间上的求值转化到已知区间上，进而解决问题． 【对点训练】 1．设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x(1＋x)，则f＝(　　) A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且当x∈时，f(x)＝log2(－3x＋ 1)，则f(2 021)等于(　　) A．4　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．－2　　　　　　　　D．log27 3．已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝2a－3，则实数a的取值范围为____． 4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋5)＝f(x)，且当x∈时，f(x)＝x3－3x，则f(2 018)＝(　　) A．2　　　　　　　　B．－18　　　　　　　　C．18　　　　　　　　D．－2 5．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对于任意x∈R，恒有f(x－