专题三　函数的周期性问题-2022年高考数学之函数三大性质专项突破（全国通用）

专题三　函数的周期性问题 函数的周期性问题主要包括：已知函数的周期性(显性的)，求函数值以及已知函数的周期性(隐性的)，求函数值 题型一　已知函数的周期性(显性的)，求函数值 【例题选讲】 [例1](1)若f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝__________． 答案　－1　解析　由f(x＋2)＝f(x)可得f(3)－f(4)＝f(1)－f(2)＝1－2＝－1． (2)设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2，1)时，f(x)＝则f＝________． 答案　　解析　由题意可得f＝f＝f＝4×2－2＝，f＝． (3) (2016·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝其中a∈R．若＝，则f(5a)的值是________． 答案　－　解析：由题意可得＝f＝－＋a，＝f＝＝，则－＋a＝，a＝，故f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋＝－． (4)(2018·江苏)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________． 答案　　解析　由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝＝，所以f(f(15))＝f＝cos＝． (5)定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值等于(　　) A．403　　　　　　　B．405　　　　　　　C．806　　　　　　　D．809 答案　B　解析　定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1．故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405． (6)已知f(x)是R上的奇函数，f(5)＝2，且对任意x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(2 017)＝________． 答案　－2　解析：因为f(x)是R上的奇函数，且f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，所以f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)＝0，所以f(3)＝0，所以f(x＋6)＝f(x)，即函数f(x)是周期为6的函数，所以f(2 017)＝f(1)，又f(1)＝f(1－6)＝f(－5)＝－f(5)＝－2，所以f(2 017)＝－2 [题后悟通]　利用函数的周期性，可将其他区间上的求值等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． 【对点训练】 1．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区 间[0，6]上与x轴的交点个数为________． 2．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝其中a，b∈R. 若f ＝f，则a＋3b的值为________． 3．已知函数f(x)＝如果对任意的n∈N*，定义fn(x)＝，那么f2 019(2)的 值为(　　) A．0　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．3 4．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x. 则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝__________． 5．(2016·山东)已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当 x>时，f＝f．则f(6)＝(　　) A．－2　　　　　　　　B．－1　　　　　　　　C．0　　　　　　　　D．2 6．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2 019) ＋f(2 020)＝(　　) A．0　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4 题型二　已知函数的周期性(隐性1)，求函数值 【例题选讲】 [例2](1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)＝则下列函数值为1的是(　　) A