专题二　函数的奇偶性问题-2022年高考数学之函数三大性质专项突破（全国通用）

专题二　函数的奇偶性问题 函数的奇偶性问题主要包括：函数奇偶性的判断，已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值．已知函数的奇偶性，求函数值．已知函数的奇偶性，求解析式以及已知一个函数是奇函数，且可表示为该函数加一个常数的函数的一个数的函数值，求它的相反数的函数值等问题． 题型一　判断函数的奇偶性 【例题选讲】 [例1](1)下列函数为偶函数的是(　　) A．y＝tan　　　　B．y＝x2＋e|x|　　　　C．y＝xcos x　　　　D．y＝ln|x|－sin x 答案　B　解析　对于选项A，易知y＝tan为非奇非偶函数；对于选项B，设f(x)＝x2＋e|x|，则f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)＝xcos x，则f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，所以y＝xcos x为奇函数；对于选项D，设f(x)＝ln|x|－sin x，则f(2)＝ln 2－sin 2，f(－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sin x为非奇非偶函数，故选B． (2)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　) A．y＝x＋sin2x　　　　B．y＝x2－cosx　　　　C．y＝2x＋　　　　D．y＝x2＋sinx 答案　D　解析　对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，为偶函数；对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数． (3)设函数f(x)＝，则下列结论错误的是(　　) A．|f(x)|是偶函数　　B．－f(x)是奇函数　　C．f(x)|f(x)|是奇函数　　D．f(|x|)f(x)是偶函数 答案　D　解析　∵f(x)＝，则f(－x)＝＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数． (4)已知f(x)＝，g(x)＝|x－2|，则下列结论正确的是(　　) A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数　　　　　　　　B．h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数 C．h(x)＝是偶函数　　　　　　　　　D．h(x)＝是奇函数 答案　D　解析　h(x)＝f(x)＋g(x)＝＋|x－2|＝＋2－x，x∈[－2,2]．h(－x)＝＋2＋x≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．B．h(x)＝f(x)·g(x)＝|x－2|＝(2－x)，x∈[－2,2]．h(－x)＝(2＋x)≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．C．h(x)＝＝，x∈[－2，2)，定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数．D．h(x)＝＝，x∈[－2，0)∪(0，2]，是奇函数． (5)已知函数f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是(　　) A．f(x－1)＋1是偶函数　　　　　　　　B．f(x－1)－1是奇函数　　 C．f(x＋1)＋1是偶函数　　　　　　　　D．f(x＋1)－1是奇函数 答案　－　解析　法一：因为f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以f(x)＋f(2－x)＝2，所以函数y＝f(x)的图象关于点(1，1)中心对称，而函数y＝f(x＋1)－1的图象可看作是由y＝f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，所以函数y＝f(x＋1)－1的图象关于点(0，0)中心对称，所以函数y＝f(x＋1)－1是奇函数，故选D． 法二：由f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，得f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，令F(x)＝f(x＋1)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，所以F(x)为奇函数，即f(x＋1)－1为奇函数，故选D． [题后悟通]　判断函数的奇偶性：首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断．分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．用函数奇偶性常用结论6或特值法可秒杀． 【对点训练】 1．下列函数为奇函数的是(　　) A．f(x)＝x3＋1　　　　B．f(x)＝ln　　　　C．f(x)＝ex　　　　D．f(x)＝xsin x 2．函数f(x)＝的图象(　　) A．关于x轴对称　　B．关于y轴对称　　C