新课标人教版A高中数学同步学习必修四第二章《平面向量 》（知识点学习+学习结论+典型例题+基础训练+强化训练+提高训练，word版含答案含解析）（20份）

平面向量应用举例 学习过程 知识点一：平面几何中的向量方法 用向量方法解决几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 知识点二：向量在物理中的应用 注意两方面： （1）体会如何把物理问题转化成数学问题，即如何将物理量间的关系抽象成数学模型 （2）如何利用数学模型的解来解释相应的物理现象。[来源:学。科。网Z。X。X。K] 学习结论 （1）向量在解决某些几何问题时具有优越性。 (2)明确用向量方法解决几何问题的“三步曲”。 典型例题 例1. 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G． （Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的余弦值 （Ⅱ）求点A1到平面AED的距离． [思路分析] 本题中的三条棱两两垂直，故可以此建立空间直角坐标系．将线面所成角转化为线线所成角，从而运用向量的数量积可得所求；对于（Ⅱ）中的点面距离，首先应该考察过这点垂直于面的直线．在上述想法不可行的情况下再考虑体积法等其它方法． 解析：（Ⅰ）点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，所以，就是直线A1B与平面ABD所成的角． 因为两两垂直，所以，如图建立空间直角坐标系，若设CA=2a，则有：，，，，，．[来源:Zxxk.Com] 所以 ，． 因为，所以， ，所以，，所以，． 所以 ，， 又 ，所以，根据数量积的定义可知： ． 所以，A1B与平面ABD所成的角的余弦值为 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ， ， ， 所以， ， 所以，．所以，． 又，所以，． 过点作于K，则就是点A1到平面AED的距离．[来源:学科网ZXXK] 在等腰中，，， 所以，边上的高h＝， 所以， ．[来源:学科网ZXXK] 所以，点A1到平面AED的距离为．[来源:学科网ZXXK] 例2.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ [思路分析] 速度（既有大小，又有方向）、距离都可以用向量很好的表达， 所以，本题可以看作是一道向量的应用问题．下面，我们尝试用向量的观 点来解答本题． 解析： 以O为原点，分别以东、北方向为x轴正半轴方向、y轴正 半轴方向如图建立直角坐标系，则当前台风中心的位置向量 ； 台风中心的速度向量为 ． 设小时时台风中心的位置为，且该城市开始受到台风侵袭． 若以表示小时时台风侵袭区域的半径，则（单位为km）．[来源:学&科&网] 城市受台风侵袭等价于 ≤．[来源:学&科&网Z&X&X&K] 而 ，[来源:学.科.网] 令 ≤，得：，[来源:学§科§网Z§X§X§K] 解之得：． 所以，12小时后城市O开始受台风侵袭． [来源:学科网] 图2－7－6 O P P’ r (t) 东 北 图2－7－9 $$ （数学4必修）第二章 平面向量测试题 一、选择题 1．若三点 共线，则有（ ） A． B． C． D． 答案：C 解析： 2．设 ，已知两个向量 ，[来源:Zxxk.Com] ，则向量 长度的最大值是（ ） A. B. C. D. 答案：C 解析： 3．下列命题正确的是（ ）[来源:学|科|网Z|X|X|K] A．单位向量都相等 B．若 与 是共线向量， 与 是共线向量，则 与 是共线向量（ ） C． ，则 D．若 与 是单位向量，则 答案C 解析： 单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当 时， 与 可以为任意向量； ，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；还要考虑夹角[来源:学§科§网] ： 4．已知 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 （ ） A． B． C． D． 答案：C 解析： 5．已知向量 ， 满足 且 EMBED Equation.DSMT4 则 与 的夹角为[来源:Z+xx+k.Com] A． 　　　 B． 　　 C． 　 D． [来源:Z+xx+k.Com] 答案：C 解析： 6．若平面向量 与向量 平行，且 ，则 ( ) A． B． C． D． 或