笔记 第二章 直线和圆的方程-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【志鸿优化训练】

第二章直线和圆的方程 第二章直线和圆的方程 2.1直线的倾斜角与斜率 核心·呈现 1.直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角a叫做直线 的倾斜角 ②当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0° (2)直线的倾斜角a的取值范围为0°≤α<180 2.直线的斜率 条直线的倾斜角a的正切值 定义 =90° 斜率不存在 记法|k,即k=tana(a≠90°) 范围R 公式经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y)(x1≠n2)的直线的斜率公式为k= 作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度 o规律总结 。。。 直线的倾斜角与斜率的关系 设直线的倾斜角为a,斜率为k 平行于x轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 直线情况 a的大小 0°<a<90 90<a<180 k的范围 不存在 k的增减性 随α的增大而增大 a的增大而增大 名师点睛 所有的直线都有倾斜角,但不是所有直线都有斜率,倾斜角为90°的直线的斜率不存在, 3.两条直线平行与垂直的判定 (1)平行、垂直与倾斜角的关系: 设两条不重合的直线l1,l2的倾斜角分别a1,a2,则 l1∥l2a1=a l1⊥l2|a1-a2 (2)平行、垂直与斜率的关系 数学·15 M笔记&必记 两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则 l1⊥l2k1k2=—1 名师点睛 (1)当两直线l1,l2的斜率均不存在时,两直线也平行; (2)当两直线中的一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时,两直线也垂直 典例·剖析 【例2-1-1】如果直线l经过点(-1,0),倾斜角为150°,将直线l绕点(-1,0)逆时针旋转60°后,得到 直线!,求直线l的倾斜角和斜率 【解】如图所示.∵直线l的倾斜角为150 L绕点(-1,0)逆时针旋转60°后 所得直线l的倾斜角α=(150°+60°)-180°=30°, 的斜率k=tana=tan30°y3 例2-1-2】若点P(x,y)在函数y=2x+1(-2≤x≤2)的图象上运动,则的取值范围是() 5232 【解析】∵已知函数的图象是线段AB(其中A(2,5),B(-2,-3)),又的几何意义是过线段AB上的 任意一点P(x,y)和坐标原点O(0,0)的直线的斜率,且k ∴根据图象,可知亠的取值范围 是(-∞·2L2·+∞)故选D 【答案】D 【例2-1-3】已知直线l1,l2的斜率是方程2x2-5x-2=0的两根,则l1与l2的位置关系是 A.平行 B.重合 C.相交但不垂直D.垂直 【解析】易知方程2x2-5x-2=0的两根之积为一1,即直线l,l2的斜率之积为-1,所以l1与l2垂直 【答案】D 【例2-1-4】如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针 顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形 OPQR的形状 解】由斜率公式得 2-(2+t) 2t-(1-2t) 所以k=km,kR=k,从而OP∥RQ,OR∥PQ 所以四边形OPQR为平行四边形 又k·k=-1,所以OP⊥OR,故四边形 为矩形 16·数学 第二章直线和圆的方程 故选A. 【答案】(1)D(2)A 【例2-3-2】若P(x,y)在直线x+y-4=0上,则 y2-2x-4y+5的最小值为 【解析】x2+y2-2x-4y+5=√(x-1)2+(y-2)2,表示直线上的点(x,y)与点(1,2)的距离,其最 小值即点(1,2)到直线x+y-4=0的距离,故最小值为 答案】2 【例2-3-3】1)直线l与直线x+y-2=0垂直,且它在y轴上的截距为4,则直线l的方程为 (2)直线l与直线x+y-2=0平行,且它在y轴上的截距为4,则直线l的方程为 【解析】(1)方法一(斜截式方程) 设直线l的斜率为k 因为直线l与直线x+y-2=0垂直,所以k(-1)=-1,解得k 又直线l在y轴上的截距为4 故其方程为y=x+4,即x-y+4=0 方法二(直线系方程) 因为直线l与直线x十y-2=0垂直,所以可设直线l的方程为x-y+m=0. 又它在y轴上的截距为4,所以m=4 所以直线l的方程为x-y+4=0. (2)方法一(斜截式方程 因为直线l与直线x+y-2=0平行,所以直线l的斜率k=—1 又直线l在y轴上的截距为4,所以其方程为y=-x+4,即x+y-4=0. 方法二(直线系方程) 因为直线l与直线x十y-2=0平行,所以可设直线l的方程为x+y+m=0. 又它在y轴上的截距为4,所以m=-4 所以直线l的方程为x+y-4=0. 【答案】(1)x-y+4=0;(2)x+y-4=0 【例2-3-4】(