专题11 椭圆（重难点突破）-【教育机构专用】2021年暑期高一升高二数学辅导讲义（人教A版）

专题11 椭圆 1、 考情分析 2、 考点梳理 知识点一 椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数． (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集． 知识点二 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0) 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b 焦距 ＝2c 离心率 e＝，　　e∈(0,1) a，b，c 的关系 c2＝a2－b2 3、 重难点题型突破 重难点01 椭圆的定义及其应用 例1、（1）（ 河南郑州外国语学校2019届模拟）如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　) A．椭圆　　　　　　　　 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】A　 【解析】由折叠过程可知点M与点F关于直线CD对称，所以|PM|＝|PF|，所以|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝r，由椭圆的定义可知点P的轨迹为椭圆． （2）．（2021·宁夏银川市·银川二中高一期末）如图，设是圆上的动点，点是在轴上的投影，是线段上一点，且.当点在圆上运动时，动点的轨迹方程是______． 【答案】 【分析】 设的坐标为，的坐标为，则由可得，代入，整理可得答案 【详解】 解：设的坐标为，的坐标为， 因为点是在轴上的投影，是线段上一点，且， 所以， 因为在圆上， 所以，化简得， 故答案为： （3）．（2021·福建厦门一中高二期中）已知椭圆的一个焦点为，则m的值为（ ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】 根据椭圆焦点坐标确定参数c及长轴的位置，进而求m的值. 【详解】 由题意知：且长轴在轴上， ∴，即. 故选：B 【变式训练1-1】．（2021·湖南高二期末）已知椭圆的离心率为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用离心率与、的关系即可获解 【详解】 ，得，得，即． 故选：B 【变式训练1-2】．（2021·贵溪市实验中学高三其他模拟）椭圆的离心率为（ ） A．对 B．错 【答案】B 【分析】 直接求出a、b、c，写出离心率. 【详解】 对于椭圆，， 所以离心率为. 故选：B 【点睛】 求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a、b、c的关系，消去b，构造离心率e的方程或（不等式）即可求出离心率． 例2．（2021·湖南长郡中学高二期末）“ "是“方程 表示焦点在 轴上的椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据焦点在轴上的椭圆的条件，列出不等式组求出的范围，再利用集合法判断即可. 【详解】 因为方程+=1表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得， 故“”是“方程+=1表示焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 【变式训练2-1】．（2020·江苏高二期中）已知焦点在轴的椭圆的标准方程为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】 由椭圆方程焦点在轴列出不等关系求解即可. 【详解】 解：因为椭圆方程焦点在轴，所以有，所以. 故选：B. 重难点02 椭圆的标准方程 例3．（2021·全国高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)； （2）c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. （3）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点和 【答案】（1） ；（2）或；（3） 【分析】 （1）求出c＝2，，即可求出方程. （2）求出a＝13， c＝5，即可求出结果. （3）,代入即可得出结果. 【详解】 （1）由焦距是4，可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2). 由椭圆的定义知，， 所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12. 又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为. （2）由题意知，2a＝26，即a＝13，又因为c∶a＝5∶13，