“8+4+4”小题强化训练(10)利用导数研究函数零点（原卷+解析）-2022届高考数学一轮复习（江苏等新高考地区专用）

2022届高三一轮复习“8+4+4”小题强化训练(10) （利用导数研究函数的零点） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知关于 的方程有三个不等的实数根，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】问题等价于 又三个不等的实数根， 令 ， ， 当 时， ，当 时， ， 当 时， ， 所以 在 和 上为增函数，在 上为减函数， 又 ，且极小值为 ， 的图象如图所示： 因此 与 的图象有三个不同的交点时， . 故选：B. 2.已知函数 ，则方程 实根的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由 可得 或 ，当 时， ，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增， 函数 在 处取得极小值，极小值为 ，绘制函数 的图象如图所示，观察可得，方程 的实根个数为3， 故选：B 3.若函数 恰有两个不同的零点，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】显然， 不是函数 的零点，令 ，得 ， 构造函数 ， ，则 ， 令 得到 ，令 得到 且 ， 即函数 在 上单调递减，在 上单调递减，在 上单调递增； 所以函数 有极小值 ； 画出函数 的图象，如图所示， 由图像可知，当 时，直线 与 的图象不可能有两个交点， 当 ，只需 ， 的图象与直线 即有两个不同的交点， 即函数 恰有两个不同的零点， ∴ 的取值范围为 . 故选：B. 4. ， 恰有三个零点，则实数 的取值范围是 　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在同一坐标系内画出 ， 的图象（如图）． 过点 作 的切线，设切点为 ， 切线的斜率 ， 切线方程为 ， 点 在切线上， ， ， 要使 恰有三个零点，则 ， 故选：A． 5.已知函数 ，若函数 恰有三个零点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数 的图象如图所示,    ①当直线 与曲线 相切于点 时, ,  故当 或 时,直线 与函数 的图象恰有一个交点,  当 时,直线 与函数 的图象恰有两个交点,  ②当直线 与曲线 相切时, 设切点为 ,则 ,  ,解得 , 或 , ， 当 时,直线 与函数 的图象恰有一个交点,  当 或 时,直线 与函数 的图象恰有两个交点,  当 时,直线 与函数 的图象恰有三个交点,  综上 的取值范围是 . 故选：C. 6.已知函数 是定义域为R的奇函数，且当x<0时，函数 ，若关于x的函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 EMBED Equation.DSMT4 或 ， 时， ， ， 时， ， 递减， 时， ， 递增，∴ 的极小值为 ，又 ，因此 无解．此时 要有两解，则 ， 又 是奇函数，∴ 时， 仍然无解， 要有两解，则 ． 综上有 ．故选：C. 7.已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A．存在 、 ，函数 没有零点 B．任意 ，存在 ，函数 恰有 个零点 C．任意 ，存在 ，函数 恰有 个零点 D．任意 ，存在 ，函数 恰有 个零点 【答案】B 【解析】对于A选项，当 时， ，当 时， 时， 所以，对任意的 、 ，函数 必有零点，A选项错误； 对于B选项， ，则 ，函数 在 上单调递增， ， ，所以，存在 使得 . 当 时， ，此时函数 单调递减； 当 时， ，此时函数 单调递增. 所以， . 当 时，对任意的 ， ，此时函数 单调递增， 由A选项可知，函数 有唯一的零点，B选项正确； 对于C选项，任意 ，由B选项可知，当 时，对任意的 ， ， 此时函数 单调递增，函数 至多有 个零点，C选项错误； 对于D选项，令 ，则函数 的零点个数等价于直线 与函数 的图象的交点个数， 若函数 有三个零点，则函数 必有两个极值点 、 ，且满足 ， ，由题意可得 ，且 ， 由于函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 所以，当 或 时， ，当 时， . 所以， ， ， 令 ，则 ， 由B选项可知，令 ，可得 使得 ，则 ，可得 . 当 时， ，此时函数 单调递增； 当 时， ，此时函数 单调递减. 所以， EMBED Equation.DSMT4 ， 函数 在 上单调递减， ， 当 时， ，所以， . 所以， ， 因此，当 时，不存在 使得函数 有 个零点，D选项错误. 故选：B. 8.已知 ， ，若函数 的图象与函数 的图象有两个交点，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ， 所以 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上递减，在 上递