知识点14 三角函数概念、图象和性质-2021-2022学年高一数学同步精品课堂讲+例+测（苏教版2019必修第一册）

2021-2022学年高一数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019必修第一册） 知识点14三角函数概念、图象和性质 讲 教材知识梳理 任意角的三角函数的定义 定义 正弦 比值叫作α的正弦，记作sin α，即sin α＝ 余弦 比值叫作α的余弦，记作cos α，即cos α＝ 正切 比值(x≠0)叫作α的正切，记作tan α，即tan α＝ 三角函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 正切函数y＝tan x，x≠kπ＋，k∈Z 正弦函数值、余弦函数值、正切函数值的几何表示 (1)设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则有向线段MP，OM分别是角α的正弦线、余弦线，即MP＝y＝sin α，OM＝x＝cos α.如图． 过点A(1,0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边(或终边的反向延长线)交于点T，则有向线段AT就是α的正切线，即tan α＝AT＝.如图． (2)当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在． 已知一个三角函数值求其它三角函数值的方法 (1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±，求得cos α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值． (2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±，求得sin α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值． (3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝＝m⇒sin α＝mcos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝±，sin α＝±的值． (4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号． 诱导公式1~4 终边关系 图示 公式 公式一 角2kπ＋α与角α的终边相同 sin(α＋2kπ)＝sin α， cos(α＋2kπ)＝ cos α， tan(α＋2kπ)＝tan α， 其中，k∈Z 公式二 角－α与角α的终边关于x轴对称 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α 公式三 角π－α与角α的终边关于y轴对称 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α 公式四 角π＋α与角α的终边关于原点对称 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α 诱导公式五~六 利用诱导公式化简、求值的策略 (1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用． (2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围． (3)常见的互余的角：－α与＋α，＋α与－α等，常见的互补的角：＋α与－α，＋α与－α，＋α与－α等． 正弦函数、余弦函数 正弦函数 余弦函数 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] 周期性 2π 2π 单调性 在每一个闭区间(k∈Z)上都是增函数，在每一个闭区间(k∈Z)上都是减函数 在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都是增函数，在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)上都是减函数 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 对称轴 x＝kπ＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z 对称中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z 给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法 (1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一点”)求得φ或选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z. (2)待定系数法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数． 例 例题研究 一、正切函数的单调性及其应用 题型探究 例题1 已知函数的定义域为，且满足，当时，有 （1）判断并证明函数的单调性；