知识点13 角与弧度-2021-2022学年高一数学同步精品课堂讲+例+测（苏教版2019必修第一册）

2021-2022学年高一数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019必修第一册） 知识点13角与弧度 讲 教材知识梳理 任意角 角的概念： 角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 角的分类： 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转形成的角 象限角 以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 象限角的判定方法 ①根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系． ②将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的． 表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界． 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的0°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°. 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合． 弧度制 角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 弧度制下的弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝αr. (2)扇形面积公式：S＝lr＝αr2. 扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝αr2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)． (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 例 例题研究 一、角度制与弧度制的互化 题型探究 例题1 下列转化结果错误的是 A．60°化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是15° 【答案】C 【分析】由,求解即可 【详解】 对于选项A,,故A正确； 对于选项B,,故B正确； 对于选项C,,故C错误； 对于选项D,,故D正确 故选：C 【点睛】考查角度制与弧度制的转化 例题2 把化为角度是 A．270° B．280° C．288° D．318° 【答案】C 【分析】利用弧度转化为角度的公式，代值计算即可. 【详解】 因为， 故. 故选：C. 【点睛】考查弧度转化角度的公式. 跟踪训练 训练1 把-765°化成2kπ+α（0≤α＜2π），k∈Z）的形式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据终边相同角的定义及角度制与弧度制的互化，即可求解，得到答案． 【详解】 由题意，可得， 故选D． 【点睛】考查了终边相同角的表示，以及角度制与弧度值的互化． 训练2 下列转化结果错误的是（ ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是 【答案】C 【分析】根据弧度与角度的转化,化简即可判断选项 【详解】 对于A，，正确; 对于B，，正确; 对于C，，错误; 对于D，，正确. 故选:C. 【点睛】考查了弧度与角度的转化,转化过程中注意进制和单位. 二、扇形的弧长、面积 题型探究 例题1 已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用扇形的圆心角和弧长可求出扇形的半径，再求扇形的面积． 【详解】 解：扇形的圆心角为，弧长为， 扇形的半径， 扇形的面积． 故选：B． 例题2 已知扇形的周长为，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设扇形的半径为，可得出扇形的弧长为，利用二次函数的基本性质可求得扇形面积的最大值，求出对应的的值，进而求出扇形的圆心角的弧度数，然后利用等腰三角形的性质可求出扇形的弦长. 【详解】 设扇形的半径为，可得出扇形的弧长为， 所以，扇形的面积为， 当时，该扇形的面积取到最大值，扇形的弧长为，此时， 如下图所示： 取的中点，则，且，因此，. 故选：C. 【点睛】考查扇形面积最值的计算，同时也考查了扇形弦长的计算. 跟踪训练 训练1 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其