1.2.1 命题与量词-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

1．2　常用逻辑用语 1．2.1　命题与量词 1．了解命题的意义，能判断命题的真假，培养数学抽象素养． 2．理解量词的意义，会判断全称量词命题、存在量词命题的真假，培养逻辑推理素养． 　命题 1．以前学习了很多定理、推论，这些定理、推论是否是命题？ 提示：这些定理、推论是经过推理论证的正确结论，又是以陈述句的形式表述的，是命题．而且都是真命题． 2．语句“x＞0”是真命题吗？ 提示：由于不知道x的范围，所以无法判断真假． 命题语句的特点 (1)表述命题的语句必须是陈述句． (2)表述命题的语句能够判断真假． 　全称量词与全称量词命题 1．观察下面的两个语句，思考下列问题： P：m≤5； Q：对所有的m∈R，m≤5. 上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？ 提示：语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分． 2．写出一些常见的全称量词(至少5个) 提示：“任意一个”“所有”“每一个”“任给”“凡是”等． 定义 符号 全称量词 一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 ∀x∈M，r(x) 　存在量词和存在量词命题 观察下面的两个语句，思考下列问题： P：m＞5； Q：存在一个m∈Z，m＞5. 上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？ 提示：语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分． 定义 符号 存在量词 “存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 ∃x∈M，s(x) 理解全称量词命题及存在量词命题时应关注的三点 (1)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题． (2)有些命题省去了全称量词，但仍是全称量词命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”． (3)存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题． 1．已知下列语句：①平行四边形不是梯形；②；④3a＞a；⑤2019年4月23日是中国人民解放军海军建军70周年的日子．其中命题的个数是(　　)是无理数；③方程9x2－1＝0的解是x＝± A．2　　　　 B.3　　　　　 C．4　　　　 D.5 解析：①、②、③、⑤是命题，④不是，故选C. 答案：C 2．下列命题中含有全称量词的是(　　) A．至少有一个自然数是2的倍数 B．存在小于零的整数 C．方程3x＝2有实数根 D．无理数是小数 解析：D中“无理数”指的是所有的无理数． 答案：D 3．下列语句是存在量词命题的是(　　) A．整数n是2和7的倍数 B．存在整数n，使n能被11整除 C．x＞7 D．∀x∈M，p(x)成立 解析：B选项中有存在量词“存在”，故B项是存在量词命题，A和C不是命题，D是全称量词命题． 答案：B 4．下列命题：①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°. 既是全称量词命题又是真命题的是____________，既是存在量词命题又是真命题的是____________(填上所有满足要求的序号)． 解析：①是全称量词命题，是真命题；②是全称量词命题，是真命题；③是全称量词命题，即：任意正四棱锥的侧棱长相等，是真命题；④含存在量词“有的”，是存在量词命题，是真命题；⑤是存在量词命题，是真命题；⑥是存在量词命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°. 答案：①②③　④⑤ 　判断命题的真假(小组探究) 　下列命题中真命题有(　　) ①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程　②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点　③互相包含的两个集合相等　④空集是任何集合的真子集 A．1个　　　 B.2个　　　　 C．3个　　　 D.4个 【尝试解答】　①中当m＝0时，是一元一次方程，故①假；②中当Δ＝4＋4a＜0时，抛物线与x轴无交点，故②假；③正确．若A⊆B，B⊆A，则A＝B；④中空集不是它本身的真子集，故④假．故选A. 答案：A eq \a\vs4\al() 判断命题真假的方法 (1)真命题的判断方法． 要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证． (2)假命题的判断方法． 通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法． 1．下列命题中，是真命题的是(　　) A．若ab＝0，则a2＋b2＝0 B．若a＞b，则＜ C．若M∩N＝M，则N⊆M