1.1.3 第2课时 补集及综合应用-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

第2课时　补集及综合应用 1．理解全集、补集的含义，会求给定集合的补集，培养数学抽象素养． 2．能够解决交集、并集、补集的综合运算问题，提升数学运算、直观想象素养． 　全集、补集的定义及性质 1．观察集合U＝{x|x为胜利中学高一年级的学生}，A＝{x|x为胜利中学高一年级的男生}，B＝{x|x为胜利中学高一年级的女生}，探究下列问题： (1)集合A与集合U，集合B与集合U，集合A与集合B之间分别有何关系？ 提示：A中的所有元素都是U中的元素，所以A⊆U，同理B⊆U，集合A是集合U中除去集合B中元素之后剩余的元素组成的集合． (2)如何用维恩图表示集合U，A，B的关系？ 提示：用图示法表示．如图所示： (3)若把U看作全集，则∁UA与集合B有何关系？ 提示：相等． 2．根据全集与补集的含义，探究以下问题： (1)借助维恩图，你能分析集合A与集合∁UA之间有什么关系吗？ 提示：A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U. (2)∁A C与∁B C相等吗？ 提示：不一定．若A＝B，则∁AC＝∁BC，否则不相等． 1．全集 在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U表示． 2．补集的定义 文字语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁UA，读作“A在U中的补集”．由全集U及其子集A得到∁UA，通常称为补集运算. 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 图形语言 3.补集运算的性质 给定全集U及其任意一个子集A (1)A∪(∁UA)＝U； (2)A∩(∁UA)＝∅； (3)∁U(∁UA)＝A. 1．补集的相对性 集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． 2．∁UA包含的三层意思 (1)A⊆U.(2)∁UA是一个集合，且∁UA⊆U.(3)∁UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合． 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数集问题中全集一定是R.(　　) (2)若集合A＝{x|x＞0}，则∁RA＝{x|x＜0}．(　　) (3)若A⊆B⊆U，则∁UA⊇∁UB.(　　) (4)若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一．(　　) 答案：(1)×.全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，因研究问题而异． (2)×.∁RA＝{x|x≤0}． (3)√.画出维恩图可知，此说法正确． (4)√.根据补集的定义可知，此说法正确． 2．设集合U＝R，M＝{x|x＞2或x＜0}，则∁UM＝(　　) A．{x|0≤x≤2}　　　　 B.{x|0＜x＜2} C．{x|x＜0或x＞2} D.{x|x≤0或x≥2} 解析：如图，在数轴上表示出集合M，可知∁UM＝{x|0≤x≤2}． 答案：A 3．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则(∁UA)∩B＝________． 解析：由已知，∁UA＝{c，d}，故(∁UA)∩B＝{c，d}． 答案：{c，d} 4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∁UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝________． 解析：因为A∪∁UA＝U，且A∩∁UA＝∅， 所以A＝{x|1≤x＜2}．所以a＝2. 答案：2 　补集的基本运算(小组探究) 　(1)设全集U＝R，集合A＝{x|2＜x≤5}，则∁UA＝________． (2)(一题多解)设U＝{x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3，3，4}，则∁UA＝ ________，∁UB＝________． 【尝试解答】　(1)用数轴表示集合A为图中阴影部分 ∴∁UA＝{x|x≤2或x＞5}． 答案：{x|x≤2或x＞5} (2)法一：在集合U中， ∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3，3，4，5， ∴U＝{－5，－4，－3，3，4，5}． 又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3，5}， ∴∁UA＝{－5，－4，3，4}，∁UB＝{－5，－4，5}． 法二：可用维恩图表示 则∁UA＝{－5，－4，3，4}，∁UB＝{－5，－4，5}． 答案：{－5，－4，3，4}　{－5，－4，5} eq \a\vs4\al() 求集合补集的处理思路 (1)当集合用列举法表示时，直接利用定义或借助维恩图求解． (2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助于数轴，利用数轴分析法求解． 1．(1)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁UA＝(　　) A．∅　　　　　　　　　 B.{1，3} C．{2，4，5} D.{1，2，3，4，5} (2)已知全集U＝{1，2，3，4，