2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系、2.1.3 方程组的解集-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

2．1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 2．1.3　方程组的解集 1．会解一元二次方程，掌握根与系数的关系，提升数学运算素养． 2．理解方程组解集的意义，会解简单二元二次方程组，培养运算求解能力． 　一元二次方程的解集 1．分别用因式分解法，配方法求方程2x2－3x＋1＝0的解集． 提示：因式分解法：2x2－3x＋1＝(2x－1)(x－1)， ∴方程(2x－1)(x－1)＝0的解集为. 配方法：2x2－3x＋1＝2＋1－ ＝2.＝，即方程化为2－ ∴， ±，即x＝＝ ∴x＝1或.，故方程解集为 2．求关于x的方程x2＝m(其中m为常数)的解集． 提示：①当m＞0时解集为{－}；， ②当m＝0时解集为{0}； ③当m＜0时解集为∅. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解集 (1)当Δ＝b2－4ac＞0时方程的解集为{}． ， (2)当Δ＝b2－4ac＝0时方程的解集为． (3)当Δ＝b2－4ac＜0时解集为∅. 用配方法推导出的求根公式，可直接使用，但要注意Δ＝b2－4ac符号的讨论． 　一元二次方程根与系数的关系 方程x2－3x＋2＝0的解为x1＝2，x2＝1，你能发现x1＋x2、x1x2与方程系数之间的关系吗？ 提示：x1＋x2等于一次项系数的相反数，x1x2等于常数项． 　关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)， 当Δ＞0时，方程的解为x1，x2. 则x1＋x2＝－． ，x1x2＝ 1．一元二次方程根与系数的关系常称韦达定理，今后可直接使用． 2．应用韦达定理的前提是在实数范围内，方程的两实根存在，即Δ＝b2－4ac≥0. 　方程组的解集 1．求方程组的解集． 提示：由①得y＝1－x，代入②得3x－(1－x)＝3，即x＝1，代入y＝1－x中得y＝0，故方程组的解集为{(x，y)|(1，0)}． 2．求方程组的解集(用z表示)． 提示：联立消元求得 即方程组的解集为{(x，y，z)|x＝3＋z，y＝2z＋2，z∈R} 由于z∈R，故上述解集是无限集． 1．一般地，将多个方程联立，就能得到方程组，方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集． 2．关于x、y、z的三元方程组解集的形式{(x，y，z)|…}． 1．关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　) A．m＜3　　　　　　　　 B.m＞3 C．m≤3 D.m≥3 解析：Δ＝(－2)2－4m＞0即m＜3，故选A. 答案：A 2．一元二次方程x2－6x－6＝0配方后化为(　　) A．(x－3)2＝15 B.(x－3)2＝3 C．(x＋3)2＝15 D.(x＋3)2＝3 解析：x2－6x－6＝(x－3)2－9－6＝(x－3)2－15. 即(x－3)2＝15，故选A. 答案：A 3．关于x的一元二次方程(k－1)x2＋6x＋k2－k＝0的一个根是0，则k的值是________． 解析：由韦达定理知＝0且k－1≠0，故k＝0. 答案：0 4．若二元一次方程组的解集为{(x，y)|(a，b)}则a－b的值为________． 解析：将二元一次方程组的解.再把方程组中两方程相加得4a－4b＝7，解得a－b＝得代入方程组 答案： 　解一元二次方程(小组探究) 　(链接课本例1)求下列方程的解集 (1)x2－3x－28＝0； (2)2y4－5y2－3＝0； (3)关于x的方程mx2＋2x＋1＝0(其中m为常数)． 【尝试解答】　(1)原方程变为(x－7)(x＋4)＝0， 解得x1＝7，x2＝－4，故解集为{－4，7}． (2)换元设x＝y2≥0，则原方程化为2x2－5x－3＝0， 即(2x＋1)(x－3)＝0，解得x＝－或x＝3. ∵x≥0，∴y2＝3，即y＝±}．，，所以原方程的解集为{－ (3)当m＝0时，方程变为2x＋1＝0，解得x＝－；，方程的解集为 当m≠0时，Δ＝4－4m， 若m＞1，则Δ＜0，方程无解，方程的解集为∅； 若m＝1，则Δ＝0，解得x＝－1，方程的解集为{－1}； 若m＜1，则Δ＞0， 解得x1＝.，x2＝ 方程的解集为. eq \a\vs4\al() 一元二次方程的解法 (1)配方法 比较适合配方法的情形是“二次项系数为1，一次项系数为偶数”的一元二次方程． (2)公式法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，且a≠0)的求根公式：x＝(b2－4ac≥0)． (3)因式分解法 通过提公因式法、公式法等因式分解的方法，把方程化为形如(ax－b)(cx－d)＝0的形式，则ax－b＝0或cx－d＝0. 1．求方程(x2＋x)2＋x2＋x＝30的解集． 解：设t＝x2＋x，则原方程化为t2＋t－30＝0， 解得t＝5或t＝－6. 当x2＋x＝5即x2＋