2.1.1 等式的性质与方程的解集-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

2．1　等式 2．1.1　等式的性质与方程的解集 1．理解恒等式的意义，掌握等式的性质，培养逻辑推理素养． 2．掌握方程解集的意义，并能利用等式的性质，对有关恒等式进行代数变形、化简求值或解方程，提升数学运算素养． 　等式的性质、恒等式 　下列说法是否正确？ (1)∀x∈R都有x2－1＝(x＋1)(x－1)成立 (2)∀t∈R都有t3－1＝(t－1)(t2＋t＋1)成立 (3)∀x∈R都有＝x－1 (4)∃x∈R使2x－3＝0成立 提示：显然(1)(2)(4)是正确的，(3)当x＝2时等式左边不成立，故不正确． 1．等式的性质 (1)若a＝b，则对任意c，都有a＋c＝b＋c； (2)若a＝b，则对任意c≠0，都有ac＝bc. 2．一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 3．∀x，a，b∈R，都有(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab成立． 1．等式的性质(2)，必须强调c≠0否则，ac＝bc未必有a＝b. 2．恒等式是进行代数变形的依据之一，如对∀x，y∈R都有x2－y2＝(x＋y)(x－y)成立，所以用其他代数式去代替其中的x，y，等式仍然成立，若z－1代替x，则(z－1)2－y2＝(z＋y－1)(z－y－1)． 　方程的解集 1．方程x＋1＝0的解集怎样表示？ 提示：{－1}． 2．方程(x－1)(x＋2)＝0的解集怎样表示？ 提示：{－2，1}． 1．关于x的方程ax＝b的解集 (1)当a≠0时，此时解集为． (2)当a＝0时，①当b≠0时，此时无解，解集为∅． ②当b＝0时，此时解集为R． 2．关于x的一元二次方程(x－x1)(x－x2)＝0的解集． (1)当x1≠x2时，此时的解集为{x1，x2}， (2)当x1＝x2时，此时的解集为{x1}． 1．一次项或二次项系数含字母时，要注意讨论． 2．一元二次方程的解集中可能有两个元素，可能有一个元素，也可能解集是空集． 1．(a－2)(a＋3)的结果是(　　) A．a2－6　　　　　　　 B.a2＋a－6 C．a2＋6 D.a2－a＋6 解析：(a－2)(a＋3)＝a2＋a－6，故选B. 答案：B 2．下列各式分解因式正确的是(　　) A．x2＋6xy＋9y2＝(x＋3y)2 B．2x2－4xy＋9y2＝(2x－3y)2 C．2x2－8y2＝2(x＋4y)(x－4y) D．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)(x＋y) 答案：A 3．多项式4a－a3分解因式的结果是(　　) A．a(4－a2) B.a(2－a)(2＋a) C．a(a－2)(a＋2) D.a(2－a)2 答案：B 4．先化简，再求值：(x－1)2＋x(3－x)，其中x＝－. 解：(x－1)2＋x(3－x)＝x2－2x＋1＋3x－x2＝x＋1 当x＝－.＋1＝时，原式＝－ eq \a\vs4\al(,) 　整式的恒等变形(化简求值)(小组探究) 　(链接课本例1)先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋(2x－1)2－2x(2x－1)，其中x＝＋1. 【尝试解答】　(x＋1)(x－1)＋(2x－1)2－2x(2x－1) ＝x2－1＋4x2－4x＋1－4x2＋2x＝x2－2x＝x(x－2)， 将x＝－1)＝1.＋1)(＋1代入x(x－2)＝( eq \a\vs4\al() 进行整式的运算时不要盲目下手，先观察式子的结构特征，确定解题思路，结合有效的数学思想：整体代入、降次等，使解题更加方便快捷． 1．若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为________． 解析：(a＋1)2－(b－1)2＝(a＋1＋b－1)(a＋1－b＋1)＝(a＋b)(a－b＋2)，由a＋b＝4，a－b＝1，原式的值为4×3＝12. 答案：12 　整式的因式分解(小组探究) 　分解因式 (1)－x2＋3x－2 (2)3x2－11x＋10 (3)(x＋2)x－x－2 (4)acx2＋(ad＋bc)x＋bd 【尝试解答】　(1)－x2＋3x－2＝－(x2－3x＋2)＝－(x－1)(x－2)． (2)3x2－11x＋10＝(x－2)(3x－5)． (3)(x＋2)x－x－2＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)． (4)acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)·(cx＋d)． eq \a\vs4\al() 1．十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数，即运用乘法公式(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab的逆运算进行因式分解． 2．此法适合二次三项式的形式：如acx2＋(ad＋bc)x＋bd形式，并不是所有二次三项式都可用十字相乘法因式分解． 2．分解因式 (1)3ax2＋15axy＋1