1.2.3 第1课时 充分条件、必要条件-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

1．2.3　充分条件、必要条件 第1课时　充分条件、必要条件 1．理解充分条件、必要条件的意义，培养数学抽象素养． 2．掌握充分条件、必要条件的判断方法，提升逻辑推理素养． 　命题的结构形式 1．如何确定命题的条件与结论． 提示：命题中已知的事项为条件，由已知推出的事项为结论． 2．一个命题写成“若p，则q”的形式后，如何判断命题的真假？ 提示：当一个命题改写成“若p，则q”的形式后，判断这种命题真假的方法是：若由p经过逻辑推理推出q，则该命题为真；若判定该命题为假，只需举出一个反例即可． 在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论．若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p可以推出q，记作p⇒q，读作“p推出q”；否则，称由p推不出q，记作pq，读作“p推不出q”． 　充分条件、必要条件 1．判断下列两个命题的真假，若为真命题，说明条件和结论有什么关系？ (1)若x＞a2＋b2，则x＞2ab； (2)若ab＝0，则a＝0. 提示：(1)为真命题，(2)为假命题，(1)为真命题说明：由条件x＞a2＋b2，通过推理可以得出结论x＞2ab. 2．若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？ 提示：不唯一．例如“x＞1”是“x＞0”的充分条件，p可以是“x＞2”“x＞3”或“2＜x＜3”等． 3．x＞0是x＞1的充分条件吗？ 提示：不是，当x＞0x＞1. 　充分条件与必要条件 命题真假 若“p，则q”为真命题 若“p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 子集关系 A{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，且A⊆B， 那么p(x)⇒q(x)即p(x)是q(x)的充分条件，q(x)是p(x)的必要条件 定理关系 判定定理给出了结论成立的充分条件，性质定理给出了结论成立的必要条件 1.对充分条件与必要条件的理解 (1)充分条件：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． (2)必要条件：必要就是必须，必不可少．“有之未必成立，无之必不成立”． 2．“p是q”的充分条件的等价说法： (1)p⇒q(即若p则q为真命题) (2)q的充分条件是p (3)q是p的必要条件 (4)p的必要条件是q 1．使x＞3成立的一个充分条件是(　　) A．x＞4　　 B.x＞0　　　 C．x＞2　　 D.x＜2 解析：只有x＞4⇒x＞3，其他选项均不可推出x＞3. 答案：A 2．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是(　　) A．“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac＜bc”是“a＜b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 解析：若a＝b，则ac＝bc；若ac＝bc，则a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件． 答案：B 3．设x∈R，则x＞2的一个必要条件是(　　) A．x＞1 B.x＜1 C．x＞3 D.x＜3 解析：因为由x＞2⇒x＞1，所以x＞1是x＞2的一个必要条件． 答案：A 4．p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件． 解析：∵x＝y⇒|x|＝|y|，即q⇒p，∴p是q的必要条件． 答案：必要 eq \a\vs4\al(,) 　充分条件与必要条件的判断(互动探究) 　(链接课本例1)下列各题中，判断p是q的什么条件，q是p的什么条件． (1)p：x2＝y2，q：x＝y； (2)p：整数能被5整除，q：整数的个位数字为5； (3)p：两个三角形全等，q：两个三角形的面积相等； (4)p：a＞2，b＞2.q：a＋b＞4，ab＞4. 【尝试解答】　(1)q⇒p，p q：q是p的充分条件，p是q的必要条件． (2)q⇒p，p q：q是p的充分条件，p是q的必要条件． (3)p⇒q，q p：p是q的充分条件，q是p的必要条件． (4)由a＞2，b＞2⇒a＋b＞4，ab＞4，即p⇒q，取a＝100，b＝0.1满足a＋b＞4，ab＞4，但不满足b＞2，即qp，故p是q的充分条件，q是p的必要条件． eq \a\vs4\al() 充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法： ①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件． (2)命题判断法： ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． 1．(多