1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

1．2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 1．理解命题的否定，会写一个命题的否定，培养数学抽象素养． 2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定，提升逻辑推理素养． 　命题的否定 1．观察下列两个命题(1)(2)，它们之间有什么关系？ (1)6是3的倍数． (2)6不是3的倍数． 提示：命题(2)是命题(1)的否定． 2．以上两个命题的真假如何？你能归纳出它们真假的一般规律吗？ 提示：(1)为真命题；(2)为假命题；若p是真命题，则¬p为假命题，若p为假命题，则¬p为真命题． 1．一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p”，读作“非p”或“p的否定”． 2．命题p与¬p真假关系：真假相反． 1．“非p”中“非”的含义就是否定的意思，即从日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”抽象而来的． 2．“非”：从集合的角度看，若设P＝{x|x满足命题p}，则“¬p”对应于集合P在全集U中的补集∁UP＝{x|x∈U，且x∉P}，p与“¬p”的真假关系：真假对立． 　全称量词命题与存在量词命题的否定 1．用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？ 提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”． 2．对省略了量词的命题怎样否定？ 提示：对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题．一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题．反之，亦然． 1．一般地，全称量词命题“∀x∈M，q(x)”的否定是存在量词命题即：∃x∈M，¬q(x)． 2．一般地，存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定是全称量词命题即：∀x∈M，¬p(x)． 1．全称量词命题的否定 全称量词命题的否定是一个存在量词命题，否定全称量词命题时关键是找出全称量词，明确命题所提供的性质． 2．存在量词命题的否定 存在量词命题的否定是一个全称量词命题，否定存在量词命题时关键是找出存在量词，明确命题所提供的性质． 3．一些常见词语的否定 词语 是 一定是 都是 大于 小于 且 词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或 词语 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立 所有x不成立 词语的否定 一个也没有 至多有n－1个 至少有两个 存在一个x不成立 存在一个x成立 1．命题“∀x2＞1，x＞1”的否定是(　　) A．∀x2＞1，x≤1　　　 B.∀x2≤1，x≤1 C．∃x2＞1，x≤1 D.∃x2≤1，x≤1 解析：所给命题∀x2＞1，x＞1是全称量词命题，它的否定是存在量词命题为∃x2＞1，x≤1. 答案：C 2．命题：“∃x∉M，p(x)”的否定为________． 答案：∀x∉M，¬p(x) 3．命题：“有的四边形是平行四边形”的否定为________． 答案：所有的四边形都不是平行四边形 4．命题：“等圆的面积相等”的否定为________． 答案：存在等圆其面积不相等 eq \a\vs4\al(,) 　全称量词命题的否定及其真假判断(小组探究) 　(链接课本例1)写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形． 【尝试解答】　(1)¬p：∃x∈R，x2－x＋＜0，因为p为真命题，所以¬p为假命题． (2)至少存在一个正方形不是矩形，因为q为真命题，所以¬q为假命题． eq \a\vs4\al() 全称量词命题否定的两个关键 (1)看格式：写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定． (2)看含义：有些全称量词命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”． 1．命题“任意x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　) A．任意x∈(－∞，0)，x3＋x＜0 B．任意x∈(－∞，0)，x3＋x≥0 C．存在x∈[0，＋∞)，x3＋x＜0 D．存在x∈[0，＋∞)，x3＋3≥0 答案：C eq \a\vs4\al(,) 　存在量词命题的否定及其真假的判断(互动探究) 　(链接课本例2)(1)命题“∃x∈R，f(x)＝x”的否定是(　　) A．∀x∈R，f(x)＝x　　 B.不存在x∈R，f(x)≠x C．∀x∈R，f(x)≠x D.∃x∈R，f(x)≠x (2)写出下列命题的否定，并判断其真假 ①∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解 ②存在偶函数为单调函数 【尝试解答】　(1)命题的否定为：∀x∈R，f(x)≠x，故选C. 答案：C (2)①命题的否定：∀a，b∈R