4.2.1 对数运算-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

4．2　对数与对数函数 4．2.1　对数运算 1．了解对数、常用对数、自然对数的概念，掌握对数的性质，重点发展数学抽象核心素养． 2．掌握指数式与对数式的互化，会用对数的定义和性质求简单的对数值，重点提升数学运算核心素养． 　对数的概念 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……以此类推．回答下列问题： (1)1个这样的细胞分裂2次得到多少个细胞？分裂x次得到多少个细胞？ (2)分裂多少次可得到8个，16个呢？如何求解？ (3)若ax＝N，如何表示x呢？ 提示：(1)分裂2次得到4个细胞，分裂x次得到2x个细胞． (2)设分裂x次可得到8个，即2x＝8＝23，故x＝3，所以分裂3次可得到8个，同理由2x＝16可得x＝4…… (3)以a为底N的对数x＝logaN. 1.指数式与对数式的互化及有关概念 2.底数a的范围是a>0且a≠1． 1．从三个方面认识对数式 (1)对数式logaN可看作一种记号，只有在a＞0，a≠1，N＞0时才有意义． (2)对数式logaN也可以看作一种运算，是在已知ab＝N求b的前提下提出的． (3)logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写，也不可认为是loga与N的乘积． 2．当a＞0且a≠1时，b＝logaN⇔ab＝N. 　对数的性质 1．是不是所有的实数都有对数？为什么？ 提示：零和负数没有对数，因为ax＝N(a＞0且a≠1)中无论x取什么值，N总大于0，故零和负数无对数． 2．根据对数的定义以及对数与指数的关系，你能求出loga1及logaa的值吗？ 提示：设loga1＝x，则ax＝1＝a0，故x＝0，即loga1＝0，同理logaa＝1. 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数x，使得x＝log(－2)8.(　　) (2)ln(ln e)＝0.(　　) (3)若10＝lg x，则x＝100.(　　) (4)若3x＝2，则x＝log23.(　　) 解析：(1)错，因为对数的底数范围是大于零且不等于1； (2)∵ln e＝1，∴ln 1＝0，故(2)对； (3)∵10＝lg x，∴x＝1010，故(3)错； (4)∵3x＝2，∴x＝log32，故(4)错． 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．把对数式loga49＝2写成指数式为(　　) A．a49＝2　　　　　 B．2a＝49 C．492＝a D．a2＝49 解析：∵loga 49＝2，∴a2＝49，故选D. 答案：D 3．求下列各式的值： (1)log636＝________；　　 (2)ln e3＝________； (3)log50.2＝________； (4)lg 0.01＝________． 解析：(1)log6 36＝2. (2)ln e3＝3. (3)log50.2＝log55－1＝－1. (4)lg 0.01＝lg 10－2＝－2. 答案：(1)2　(2)3　(3)－1　(4)－2 4．若log3＝1，则m＝________． 解析：因为log3＝3，解得m＝4.＝1，所以 答案：4 INCLUDEPICTURE "backup/课堂合作探究.TIF" \* MERGEFORMAT 　对数的概念(小组探究) 　(1)若N＝a5(a＞0，a≠1)，则有(　　) A．loga5＝N　　　　 B．logaN＝5 C．logN5＝a D．logNa＝5 (2)若对数log(x－1)(2x－3)有意义，则x的取值范围是(　　) A.＜x＜2≤x＜2 B． C.＜x＜2或x＞2 D．2≤x≤3 (3)将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： ①2－7＝32＝－5；； ②log ③lg 1 000＝3; ④ln x＝2. 【尝试解答】　(1)由N＝a5化为对数式为logaN＝5. 答案：B (2)x应满足＜x＜2或x＞2.且x≠2，即所以x＞ 答案：C (3)①由2－7＝＝－7.，可得log2 ②由log＝32.32＝－5，可得 ③由lg 1 000＝3，可得103＝1 000. ④由ln x＝2，可得e2＝x. eq \a\vs4\al() 指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式： 将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式： 将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 　　 1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)4－3＝； (2)＝3.76； (3)lg 100＝2； (4)ln . ＝ 解：(1)log4＝－3. (2)log3.76＝m. (3)102＝100. (4)e.＝ 　利用指数式与对数式的互化求值(变通探究) 　(课本例2