4.1.2 第2课时 指数函数性质的应用-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

第2课时　指数函数性质的应用 1．能利用指数函数的性质解不等式，比较大小，重点提升数学运算核心素养． 2．指数函数与函数基本性质的综合应用，重点提升逻辑推理核心素养． 　指数函数的性质 1．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，当底数变化时，各函数图像间有怎样的关系？ 提示：(1)当a＞1时，a的值越大，图像越靠近y轴，递增速度越快． (2)当0＜a＜1时，a的值越小，图像越靠近x轴，递减速度越快． (3)底数互为倒数时，图像关于y轴对称． 2．当a＞b＞0(a≠1，且b≠1)时，对任意一个实数x0，什么时候ax0＞bx0？什么时候ax0＜bx0？什么时候ax0＝bx0? 提示：由图像可知：①当a＞b＞1时，x0∈(0，＋∞)，ax0＞bx0；x0∈(－∞，0)，ax0＜bx0；x0＝0，ax0＝bx0； ②当1＞a＞b＞0时，x0∈(0，＋∞)，ax0＞bx0；x0∈(－∞，0)，ax0＜bx0；x0＝0，ax0＝bx0. 综上可知：对a＞b＞0(a≠1，且b≠1)始终有x0∈(0，＋∞)，ax0＞bx0；x0∈(－∞，0)，ax0＜bx0；x0＝0，ax0＝bx0. 1．对于函数y＝ax和y＝bx(a＞b＞1)： (1)当x＜0时，0＜ax＜bx＜1； (2)当x＝0时，ax＝bx＝1； (3)当x＞0时，ax＞bx＞1. 2．对于函数y＝ax和y＝bx(0＜a＜b＜1)， (1)当x＜0时，ax＞bx＞1； (2)当x＝0时，ax＝bx＝1； (3)当x＞0时，0＜ax＜bx＜1. 1．下列判断正确的是(　　) A．1.72.5＞1.73　　　 B．0.82＜0.83 C．π2＜π D．0.90.3＞0.90.5 解析：∵y＝0.9x在定义域上是减函数，又0.3＜0.5， ∴0.90.3＞0.90.5. 答案：D 2．当x＞0时，指数函数(a－1)x＜1恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．a＞2 B．1＜a＜2 C．a＞1 D．a∈R 解析：∵x＞0时，(a－1)x＜1恒成立， ∴0＜a－1＜1，即1＜a＜2. 答案：B 3．不等式2x＞1的解集为________． 解析：2x＞20，∴x＞0. 答案：(0，＋∞) 4．函数y＝的单调区间为________． 解析：y＝＝2x－1，故函数的增区间为(－∞，＋∞)． 答案：(－∞，＋∞) 　比较幂值大小(小组探究) 　(课本例1变式)(1)已知a＝0.771.2，b＝1.20.77，c＝π0，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c　　　　　 B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b (2)已知a＝，则a，b，c的大小关系是(　　)，c＝，b＝ A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a 【尝试解答】　(1)a＝0.771.2，0＜a＜1， b＝1.20.77＞1，c＝π0＝1，则a＜c＜b. (2)对于指数函数y＝ax，若x＜0，则当0＜a＜1时，有ax＞1；当a＞1时，有0＜ax＜1. 所以0＜＞1.＞1，＜1， 又因为函数y＝， ＜－在R上是减函数，且－ 所以.＞ 综上知，，即c＜b＜a.＞＞ 答案：(1)C　(2)D eq \a\vs4\al() 比较幂值大小的三种类型及处理方法 　　 1．(1)设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝，则(　　) A．y3＞y1＞y2　　 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2 解析：y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5.由y＝2x在R上单调递增知，21.44＜21.5＜21.8，即y1＞y3＞y2. 答案：D (2)，则a，b的大小关系是(　　)＞ A．1＞a＞b＞0 B．a＜b C．a＞b D．1＞b＞a＞0 解析：∵0＜在R上单调递减．＜1，∴y＝ 又∵，∴a＜b.＞ 答案：B 　解简单的指数不等式(变通探究) 　(1)解不等式≤2. (2)若a－3x＞ax＋4(a＞1)，求x的取值范围． 【尝试解答】　(1)原不等式⇔2－2x＋1≤2⇔－2x＋1≤1⇔x≥0. 故原不等式的解集为[0，＋∞)． (2)因为f(x)＝ax(a＞1)是R上的增函数，且a－3x＞ax＋4， 所以－3x＞x＋4，即x＜－1， 故x的取值范围是x＜－1. 【一题多变】 　若把本例(2)中的“a＞1”换为“0＜a＜1”，其他条件不变，则结果又是什么呢？ 答案：x＞－1 　若把本例(2)中的“a＞1”换为“a＞0且a≠1”，其他条件不变，则结果又是什么呢？ 解：当a＞1时，原不等式⇔－3x＞x＋4⇔x＜－1； 当0＜a＜1时，原不等式⇔－3x＜x＋4⇔x＞－1. 故当a＞1时，x的取值范围是x＜－1； 当0＜a＜1时，x的取值范围是x＞－1