4.1.2 第1课时 指数函数的图像与性质-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

4．1.2　指数函数的性质与图像 第1课时　指数函数的图像与性质 1．了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念，重点发展数学抽象核心素养． 2．掌握指数函数的图像与性质，初步学会运用指数函数解决简单问题，重点提升直观想象、数学运算核心素养． 　指数函数的定义 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一个这样的细胞分裂x次以后，得到的细胞个数y与x满足的函数关系式是什么？与二次函数y＝x2有什么区别？ 提示：y与x满足的函数关系式为y＝2x(x∈N*)，y＝2x与y＝x2的区别在于前者的自变量在指数位置上，而y＝x2的自变量在底数位置上． 　一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1，x是自变量． 　指数函数的图像与性质 1．函数y＝2x与y＝的图像有什么关系？的图像及函数y＝3x与y＝ 提示：函数y＝2x与y＝的图像也关于y轴对称．的图像关于y轴对称，y＝3x与y＝ 2．指数函数图像的上升、下降与底数a有怎样的关系？对应的函数的单调性如何？ 提示：它们的图像都在x轴上方，向上无限伸展，向下无限接近于x轴；当底数a大于1时图像上升，为增函数；当底数a大于0小于1时图像下降，为减函数． 3．指数函数图像过哪些定点？这与底数的大小有关系吗？ 提示：无论底数a＞1还是0＜a＜1，图像都过定点(0，1)。 指数函数的图像与性质 图 像 a＞1 0＜a＜1 性 质 定义域R，值域(0，＋∞) 图像都过点(0，1) 当x＞0时，y＞1； x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1； x＜0时，y＞1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 y＝ax与y＝a－x的图像在同一坐标系中关于y轴对称 设x1，x2∈R，则f(x1＋x2)＝f(x1)·(x2) 指数函数f(x)＝ax中为什么要限定a＞0且a≠1 　提示：(1)如果a＝0时，当x＞0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义． (2)如果a＜0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝，…，在实数范围内函数值不存在．， (3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，无研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1. 1．下列各函数中，是指数函数的是(　　) A．y＝(－2)x　　　 B．y＝－3x C．y＝41－x D．y＝ex 解析：根据指数函数的概念知，y＝ex是指数函数． 答案：D 2．函数y＝的图像可能是(　　) 解析：因为的图像可能是选项A的图像．＞1，图像经过点(0，1)，所以y＝ 答案：A 3．函数y＝(2m－5)x是指数函数，则实数m的取值范围是________． 解析：由题意知且m≠3.解得m＞ 答案：∪(3，＋∞) 4．指数函数f(x)的图像过点，则f(2)＝______． 解析：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)． 因为f(x)的图像过点， 所以a－3＝，a3＝8，故a＝2， 所以f(x)＝2x，所以f(2)＝22＝4. 答案：4 　指数函数概念的应用(小组探究) 　(1)若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　　) A．a＝1或2　　　　 B．a＝1 C．a＝2 D．a＞0且a≠1 (2)指数函数y＝f(x)的图像经过点，那么f(4)·f(2)等于________． 【尝试解答】　(1)由指数函数的定义得解得a＝2. (2)设y＝f(x)＝ax(a＞0，a≠1)， 所以a－2＝，所以a＝2， 所以f(4)·f(2)＝24×22＝64. 答案：(1)C　(2)64 eq \a\vs4\al() 判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax（a＞0，且a≠1）这一结构形式，其特征如下：,指数函数 　　 1．已知指数函数图像经过点P(－1，3)，则f(3)＝________． 解析：设指数函数为f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，由题意得a－1＝3，解得a＝， 所以f(x)＝.＝，故f(3)＝ 答案： 　指数函数的图像问题(变通探究) 　(1)如图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A．a＜b＜1＜c＜d　　　　 B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c (2)已知函数f(x)＝2x，则f(1－x)的图像为(　　) 【尝试解答】　(1)法一：当指数函数的底数大于1时，图像上升，且在第一象限内，底数越大，图像越靠近y轴；当底数大于0且小于1时，图像下降，且在第一象限内，底数越小，图像越靠近x轴． 故可知b＜a＜1＜d＜c，故选B. 法二：令x＝1，由图知c1＞d1＞a1＞b1， ∴b＜a＜1＜d＜c，故选B. (2)f(1