4.1.1 实数指数幂及其运算-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

4．1　指数与指数函数 4．1.1　实数指数幂及其运算 1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，重点发展数学抽象核心素养． 2．掌握根式的性质及根式与分数指数幂的互化；掌握实数指数幂的运算法则，并能对代数式进行化简或求值，重点提升数学运算素养． 　n次方根、算术根、根式 1．类比a的二次方根和三次方根的意义，如何定义a的n次方根？ 提示：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a.那么x称为a的n次方根． 2．类比二次方根、三次方根，猜想：当n为偶数时，一个实数的n次方根有几个？当n为奇数时呢？ 提示：(1)当a为正数： (2)当a为负数： 零的n次方根为零，记为＝0. 1．n次方根的表示 (1)0的任意正整数次方根均为0，记为＝0． (2)正数a的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根，记为没有意义．；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当a＜0且n为偶数时，，负的方根记为－ (3)任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为．而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数． 2．根式的性质 (1)()n＝a． (2)当n为奇数时，＝|a|．＝a；当n为偶数时， (的意义的理解)n与 (1)对()n＝a(a≥0)．)n只有当a≥0时才有意义，且()n＝a，当n为大于1的偶数时，()n对任意a∈R都有意义，且()n的理解：当n为大于1的奇数时，( (2)对＝|a|＝＝a；当n为偶数时，的理解：对任意a∈R都有意义，且当n为奇数时， 如＝|－3|＝3.＝－3， 　有理数指数幂 如果n∈N*，那么当如何表示？如何用分数指数幂表示？有意义且a≠0时， 提示：.＝6；＝a 1．如果m、n∈N*，且n＞1，且． ＝有意义时，规定：a是既约分数，那么当 2．若s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a－s＝． 3．有理数指数幂的运算法则． asat＝as＋t， (as)t＝ast， (ab)s＝asbs． 　实数指数幂 无理数指数幂aα(a＞0，α是一个无理数)有何意义？有怎样的运算性质？ 提示：无理数指数幂的意义，是用有理数指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小．一般来说，无理数指数幂aα(a＞0，α是一个无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 1．当a＞0且t是无理数时，at都是一个确定的实数．即当a＞0，t为任意实数时，实数指数幂at都有意义． 2．对任意实数s和t，有理数指数幂的运算法则仍然成立． 1．若ar＝as(a≠0且a≠1)，则r＝s. 2．若a＞b＞0，n∈N*且n＞1，则a.＞b 3．乘法公式仍适用于分数指数幂，如： (a)2＝a－b(a＞0，b＞0)．)2－(b)＝(a－b)(a＋b 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1.(　　) (2)＋y.(　　)＝x (3)a·a2＝a.(　　) (4)a.(　　)＝a÷a－ 解析：(1)√　因为a2－a＋1＝，则(a2－a＋1)0＝1.≥＋ (2)×　＋y.≠x (3)×　a.·a2＝a (4)×　a＝a.＋＝a÷a－ 2．(多选)下列说法正确的是(　　) A.的运算结果是±3 B．16的4次方根是2 C．当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义 D．当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义 解析：对于A，因为偶次根式的结果只能是正数，所以A错误；对于B，偶次方根的结果有正有负，B错误；根据幂指数的运算法则可知C、D正确．故选CD. 答案：CD 3．根式化为分数指数幂为(　　) A．m－ B．m C．m－ D．m 解析　.＝m－＝ 答案：A 4.的值为(　　)×－ A．－ B． C. D． 解析：原式＝1－(1－22)×.＝＝1－(－3)× 答案：D 　根式的化简与求值(小组探究) 　(课本P8练习AT3变式)(1)625的4次方根为________． (2)128的7次方根为________． (3)化简下列各式： ①(；)3；③)6；②( ④.(a＞2)；⑤ 【尝试解答】　(1)设625的4次方根为x，所以x4＝625＝(±5)4， 所以x＝5或－5， 因此625的4次方根是±5. 答案：±5 (2)设128的7次方根为x，所以x7＝128＝27， 所以x＝2， 因此128的7次方根是2. 答案：2 (3)①()6＝2. ②()3＝－3.8. ③＝－5.＝ ④＝|a－2|， 因为a＞2，所以＝a－2. ⑤＝|m－n|， 当m≥n时，＝m－n； 当m＜n时，＝n－m. eq \a\vs4\al() 1．求a的n次方根，实际上就是解方程xn＝a. 2．开偶次方时，先用绝对值表示开方的结