4.6 函数的应用(二)-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

4．6　函数的应用(二) 1．能利用已知函数模型解决实际问题，提升数学运算核心素养． 2．通过对数据的合理分析，能自建函数模型解决实际问题，提升数据分析、数学建模核心素养． 　函数模型的实际应用 我们在第一册学习了函数的应用(一)，常用的函数模型有哪些？ 提示：一次函数模型f(x)＝kx＋b；二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；对勾函数模型f(x)＝ax＋；分段函数模型． 用函数模型解应用问题的四个步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的函数模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，现有2个这样的细胞，分裂了x次后得到的细胞个数y与x的函数关系式是(　　) A．y＝2x　　　　　　 B．y＝2x－1 C．y＝2x D．y＝2x＋1 解析：分裂一次后由2个变成2×2＝22(个)，分裂两次后4×2＝23(个)，……，分裂x次后y＝2x＋1(个)． 答案：D 2．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林(　　) A．14 400亩 B．172 800亩 C．17 280亩 D．20 736亩 解析：设第x年造林y亩，则y＝10 000(1＋20%)x－1，所以x＝4时，y＝10 000×1.23＝17 280(亩)． 答案：C 3．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到(　　) A．300只 B．400只 C．600只 D．700只 解析：将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300. 答案：A 4．电脑成本不断降低，若每隔3年价格降低，现在价格为8 100元的电脑，9年后的价格可降为________元． 解析：9年后价格可降为8 100×＝2 400(元)． 答案：2 400 　指数函数模型的应用(重点探究) 　(课本例1、例3变式)某海滨城市现有人口100万人，如果年平均自然增长率为1.2%，解答下面的问题． (1)写出该城市人口数y(万人)与年份x(年)的函数关系； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年)． 【尝试解答】　(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)， 2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2， 3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)3， …… x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x(x∈N)． (2)10年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)． (3)设x年后人口将达到120万人． 即可得到100×(1＋1.2%)x＝120， x＝log1.012≈15.28(年)．＝log1.0121.2＝ 所以大约16年后该城市人口总数达到120万人． eq \a\vs4\al() 指数函数模型的应用 在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 1．某林区2019年木材蓄积量为200万m3，由于采取了封山育林、严禁砍伐等措施，木材蓄积量的年平均增长率达到了5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万m3，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域． 解：2019年木材蓄积量为200万m3. 经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)； 经过2年后木材蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200(1＋5%)2；… ∴经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x， ∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x∈N*)． 　对数函数模型的应用(小组探究) 　(课本例4变式)我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量． (1)计算燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ 【审题指导】　建立对数函数模型，利用对数的运算法则求解． 【素养立意