4.4 幂函数-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

4．4　幂函数 1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式，发展数学抽象核心素养． 2．掌握幂函数性质，并能比较指数幂的大小，提升数学运算核心素养． 　幂函数的概念、图像和性质 1．函数y＝x，y＝x，y＝x3，y＝x－1这些函数的解析式有什么共同特点？ 提示：底数是自变量，且自变量的系数为1；指数为常数；幂的系数为1，解析式等号的右边只有1项． 2．在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图像如下图所示． (1)它们的图像都过同一定点吗？ (2)上述五个函数中，在(0，＋∞)内是增函数的是哪几个？是减函数的呢？ 提示：(1)是的，都过定点(1，1)． (2)在(0，＋∞)内是增函数的有：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x.在(0，＋∞)内是减函数的是y＝x－1. 1．形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x为自变量．α为常数． 2．幂函数的性质 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都通过点(1，1)． (2)如果α＞0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． (3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图像在x轴上方且无限地逼近x轴． 1．幂函数y＝xα(α∈R)的图像一定不经过(　　) A．第四象限　　　　 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 解析：由幂函数的图像与性质知选A. 答案：A 2．下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是(　　) A．y＝x B．y＝x2 C．y＝x3 D．y＝x 解析：函数y＝x在各自定义域上均是增函数，y＝x2在(－∞，0)上是减函数．，y＝x3，y＝x 答案：B 3．已知幂函数f(x)满足f(3)＝27，则f(x)的表达式是(　　) A．f(x)＝x－3 B．f(x)＝x3 C．f(x)＝3－x D．f(x)＝3x 解析：设f(x)＝xα，则3α＝27＝33，∴α＝3，∴f(x)＝x3. 答案：B 4．幂函数f(x)＝xα的图像过点(3，9)，那么函数f(x)的单调增区间是________． 解析：由题意得9＝3α， 所以32＝3α，∴α＝2，所以f(x)＝x2. 所以二次函数f(x)＝x2的单调增区间是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) 　幂函数的概念(小组探究) 　(1)幂函数f(x)的图像过点，则f(3)＝____． (2)已知幂函数f(x)＝xm2－m－2(m∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式． 【尝试解答】　(1)设f(x)＝xα，则2α＝.＝－2.所以f(x)＝x－2.所以f(3)＝3－2＝，所以α＝log2 答案： (2)∵f(x)＝xm2－m－2(m∈Z)是偶函数， ∴m2－m－2为偶数． 又∵f(x)＝xm2－m－2(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数， ∴m2－m－2＜0，即－1＜m＜2. ∵m∈Z，∴m＝0或m＝1. 当m＝0时，m2－m－2＝－2为偶数，当m＝1时，m2－m－2＝－2为偶数． ∴f(x)的解析式为f(x)＝x－2. eq \a\vs4\al() 幂函数的解析式y＝xα中仅含有一个常数α，则只需要一个条件即可确定幂函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)＝n或图像过点(m，n)等等，通常利用待定系数法求解，设出幂函数的解析式为f(x)＝xα，利用已知条件列方程求出常数α的值． 1．已知幂函数f(x)满足f，则f(x)的表达式是(　　)＝3 A．f(x)＝x－3 B．f(x)＝x3 C．f(x)＝3－x D．f(x)＝3x 解析：设f(x)＝xα，由题意知， α＝3，即3－＝3 ∴α＝－3.∴f(x)＝x－3. 答案：A 　幂函数的图像及应用(变通探究) 　(1)在同一坐标系中，函数f(x)＝xa(x＞0)，g(x)＝logax的图像可能是(　　) (2)幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图像如图，则将m，n，p，q的大小关系用“＜”连接起来结果是__________． (3)当α∈时，幂函数y＝xα的图像不可能经过第________象限． 【尝试解答】　(1)对A，没有幂函数的图像；对B，f(x)＝xa(x＞0)中a＞1，g(x)＝logax中0＜a＜1，不符合题意；对C，f(x)＝xa(x＞0)中0＜a＜1，g(x)＝logax中a＞1，不符合题意；对D，f(x)＝xa(x＞0)中0＜a＜1，g(x)＝logax中0＜a＜1，符合题意． (2)过原点的指数α＞0，不过原点的α＜0，所以n＜0， 当x＞1时，在直线y＝x上方的α＞1，下方的α＜1，所以p＞1，0＜m＜1，0＜q＜1