4.3 指数函数与对数函数的关系-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

4．3　指数函数与对数函数的关系 1．了解反函数的定义，知道y＝ax与y＝logax互为反函数，发展数学抽象核心素养． 2．掌握互为反函数的图像关于y＝x对称，提升直观想象核心素养． 　反函数的定义 根据y＝x的图像比较其性质．与y＝log 提示： 函数 y＝ y＝logx 定义域 R (0，＋∞) 值域 (0，＋∞) R 单调性 减函数 减函数 反函数的定义 一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．此时，称y＝f(x)存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数y＝f(x)的反函数的表达式，可以通过对调y＝f(x)中的x与y，然后从x＝f(y)中求出y得到．函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x)． 　反函数的性质 1．函数y＝x2存在反函数吗？ 提示：不存在．因为y＝4时x有两个对应值±2，故不存在反函数． 2．若y＝f(x)是单调函数，则它一定存在反函数吗？ 提示：根据反函数的定义，y＝f(x)一定存在反函数． 反函数的常用性质 (1)原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域． (2)互为反函数的图像关于直线y＝x对称；图像关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数． (3)互为反函数的两函数单调性一致． (4)f[f－1(x)]＝x，f－1[f(x)]＝x． 1．函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域为(　　) A．不确定　　　　　 B．(0，1) C．R D．(0，＋∞) 解析：由反函数的性质选D. 答案：D 2．(多选)在同一直角坐标系下，函数y＝ax与y＝logax(a＞0，a≠1)的大致图像如图所示，则实数a的可能值为(　　) A. B． C. D． 解析：由图像可知a＞1且a2＜loga2. 2，故A错误．＞log＞2＝log＝ 2，故B正确．＜log＜2＝log＝ 2，故C正确．＜log＜2＝log＝ 2，故D错误．＞log＞2＝log＝ 综上，选BC. 答案：BC 3．函数y＝－2x的反函数为________． 解析：由y＝－2x对调其中的x和y得x＝－2y，解得y＝log2(－x)． 答案：f－1(x)＝log2(－x) 4．已知f(x)＝2x＋b的反函数为f－1(x)，若y＝f－1(x)的图像过点(5，2)，则b的值为________． 解析：依题意得y＝f(x)的图像过点(2，5)，即22＋b＝5， ∴b＝1. 答案：1 　求反函数(小组探究) 　(课本例1拓展)求下列函数的反函数． (1)y＝log(x－1)； (2)y＝0.2x＋1(x≤1)； (3)y＝2x＋1. 【尝试解答】　(1)由y＝log(x－1)， 得x－1＝＋1， ，∴x＝ 对换x，y得y＝＋1， ∴y＝log＋1(x∈R)．(x－1)的反函数是y＝ (2)由y＝0.2x＋1得x＝log0.2(y－1)， 对换x，y得y＝log0.2(x－1)． ∵原函数中x≤1，∴y≥1.2， ∴反函数的定义域为[1.2，＋∞)， 因此y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数是y＝log0.2(x－1)，x∈[1.2，＋∞)． (3)由y＝2x＋1，得x＝(y－1)， 对换x，y得y＝， x－ 又x∈R时y∈R， ∴y＝2x＋1的反函数是y＝(x∈R)．x－ eq \a\vs4\al() 1．如果函数y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f－1(x)一定存在． 2．求函数y＝f(x)反函数的步骤． (1)由y＝f(x)对调其中的x和y并解出y.(用x表示)． (2)求y＝f(x)的值域． (3)写出反函数y＝f－1(x)并注明定义域． 　　 1．函数y＝x2＋1(x≥0)的反函数为________． 解析：由y＝x2＋1(x≥0)知y≥1. 由y＝x2＋1对调x和y即x＝y2＋1.又y≥0. ∴y＝(x≥1)．，即反函数为f－1(x)＝ 答案：f－1(x)＝(x≥1) 　反函数性质的应用(变通探究) 　(课本例2拓展)已知函数f(x)＝ax＋b的图像过(1，7)，其反函数f－1(x)的图像过点(4，0)，则f(x)的表达式为(　　) A．4x＋3　　　　　 B．3x＋4 C．5x＋2 D．2x＋5 【尝试解答】　∵f(x)的反函数图像过点(4，0)， ∴f(x)的图像过点(0，4)， 又f(x)＝ax＋b的图像过点(1，7)， 所以有方程组 ∴a＝4且b＝3，故f(x)的表达式为4x＋3.选A. 答案：A 　【一题多变】 　在本例的条件下，求f[f－1(11)]的值． 解：根据反函数的性质得f[f－1(11)]＝11. 　函数y＝4x＋3与函数