4.2.3 第1课时 对数函数的图像与性质-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

4．2.3　对数函数的性质与图像 第1课时　对数函数的图像与性质 1．通过具体实例，了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，重点培养数学抽象核心素养． 2．探索对数函数的图像与性质，并能简单应用，重点提升直观想象核心素养． 　对数函数的概念 我们已经知道y＝2x是指数函数，那么y＝log2x(x＞0)是否表示y是x的函数？为什么？ 提示：是．由对数的定义可知y＝log2x(x＞0)⇔x＝2y，结合指数的运算可知，在定义域{x|x＞0}内对于每一个x都有唯一的y与之对应，故y＝log2x(x＞0)表示y是x的函数，其定义域为(0，＋∞)． 　一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1.x是自变量． 　对数函数的图像与性质 在同一坐标系中，对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝logx的图像如图所示，说出这四个函数图像的特征．x，y＝log 提示：(1)这四个图像都在y轴右侧，即定义域为(0，＋∞)． (2)y＝log2x与y＝logx的图像关于x轴对称．x的图像关于x轴对称，y＝log3x与y＝log (3)函数y＝logx的图像从左到右是下降的，即函数的减区间为(0，＋∞)．x与y＝log (4)这四个图像均过定点(1，0) 对数函数的图像和性质 a＞1 0＜a＜1 图像 性 质 定义域 (0，＋∞) 值域 (－∞，＋∞) 过定点 (1，0)，即当x＝1时，y＝0 单调性 在(0，＋∞) 上是增函数 在(0，＋∞) 上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝log2(2x＋1)是对数函数．(　　) (2)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　) (3)函数y＝loga(x＋1)(a＞0且a≠1)的图像过定点(0，0)(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域为(　　) A．(－∞，1)　　　　 B．[1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) 解析：函数有意义需满足x－1＞0，所以x＞1. 答案：C 3．(多选)函数y＝logax的图像如图所示，则实数a的可能取值为(　　) A．5 B．2 C. D． 解析：因为函数y＝logax的图像一直上升，所以函数y＝logax为单调增函数，所以a＞1. 答案：AB 4．已知f(x)＝log25x，则f(5)＝________． 解析：f(5)＝log255＝.log55＝ 答案： 　对数函数的概念及应用 (小组探究) 　(1)已知下列函数： ①y＝log(－x)(x＜0)；②y＝2log4(x－1)(x＞1)；③y＝ln x(x＞0)；④y＝log(a2＋a)x(x＞0，a是常数)．其中是对数函数的是________．(只填序号)． (2)已知对数函数f(x)的图像经过点，则f(3)的值为________． 【尝试解答】　(1)对于①，自变量是－x，故①不是对数函数；对于②，2log4(x－1)的系数为2，而不是1，且自变量是x－1，不是x, 故②不是对数函数；对于③，ln x的系数为1，自变量是x，故③是对数函数；对于④，底数a2＋a＝时，底数小于0，故④不是对数函数．故填③.，当a＝－－ (2)设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)， ∵对数函数f(x)的图像经过点， ∴f.＝2.∴a2＝＝loga ∴a＝x..∴f(x)＝log＝＝ ∴f(3)＝log＝－1.3＝log 答案：(1)③　(2)－1 eq \a\vs4\al() 1.判断一个函数是对数函数必须满足以下条件： (1)系数为1； (2)底数为大于0，且不等于1的常数； (3)对数的真数仅含有自变量x. 2．对数函数解析式中只有一个参数a，用待定系数法求对数函数解析式时只须一个条件即可求出． 　　 1．(1)若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________． 解析：∴a＝1. 答案：1 (2)已知对数函数的图像过点，则f(4)＝________． 解析：设f(x)＝logax，过点， ∴－4＝loga，即a－4＝2－4，∴a＝2， f(x)＝log2x，∴f(4)＝log24＝2. 答案：2 　对数型函数的定义域及函数值 问题(变通探究) 　(1)(课本例3变式)下列各组函数中，定义域相同的一组是(　　) A．y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1) B．y＝2ln x与y＝ln x2 C．y＝lg x与y＝lg D．y＝x2与y＝lg x2 (2)已知函数f(x)＝的值为(　　)那么f A．8