第6讲不等式与不等式的性质-【A+课堂】2021-2022学年高一数学同步精讲精练（沪教版2020必修第一册）

第6讲 等式与不等式的性质 知识一 等式的性质与方程的解集 1、等式：用等号“=”吧两个表达式连接起来，所得的式子称为等式. 2、等式的基本性质（设a、b、c均为实数） （1）传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c. （2）加法性质：如果a＝b，那么a±c＝b±c. （3）乘法性质：如果a＝b，那么ac＝bc. （4）如果a＝b，c≠0，那么＝. 推论：在等式两边减去同一个数，或除以同一个不等于零的数，该等式仍然成立. 3、方程和方程的解：含有未知数的等式成为方程.使得方程两段相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根. 题型探究 题型一、利用等式性质判断命题的真假 【例1】（2020年新高一必修1教材例题）设a、b、c、d均为实数，判断下列命题的真假： （1）如果a=b，且c=d，那么a+c=b+d； （2）如果a=b，且c=d，那么ac＝bc； （3）如果a=b≠0，那么； （4）如果a=b，那么，其中n是正整数； （5）如果ac=bc，那么a=b； （6）如果那么a=b=c. 【答案】（1）（2）（3）（4）（6）真命题，（5）为假命题. 【解析】（1）根据等式的加法性质，（1）正确；（2）根据等式的乘法性质，（2）正确； （3） 根据等式性质的推论，（3）相等于1=1两边同时除以相等的不为零的数，等式成立； （4）根据等式乘法的性质，可得（4）正确；（5）当c=0时，a≠b，故（5）错误；（6）考察“0”+“0“型，所以a-b=0，且b-c=0，故a=b=c，（6）正确. 题型二、一元方程的解 【例2】（2020年新高一必修1教材例题）设a、b∈R，求关于x的方程ax=b的解集. 【答案】当a≠0时，解集为； 当a=0，b=0时，解集为R； 当a=0，b≠0时，解集为空集Ø. 【解析】当a≠0时，解集为； 当a=0，b=0时，解集为R； 当a=0，b≠0时，解集为空集Ø. 题型三、方程组的解集 【例3】（2020年新高一必修1教材例题改编）设k∈R,求方程组的解集. 【答案】当k=2时，解集为空集Ø；当k≠2时，解集为. 【解析】两式相减，得到（2-k）x=3， 当k≠2时，，代入方程组中的第一式，得到，此时，原方程组的解集为. 当k=2时，方程（2-k）x=3，无解，从而原方程组无解，其解集为空集Ø. 举一反三 1.（2020高一必修1课时练习）设a、b、c、d均为实数，判断下列命题的真假： （1）若ab=cd，则； （2）若a（c2+1）=b（c2+1），则a=b； （3）ab=0,则a=0或b=0； （4）若，且c+d≠0，则. 【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）真命题. 【解析】（1）假命题，理由如下：若c=b=0时，ab=cd，成立，但不成立； （2） 真命题，理由如下：因为c2≥0，所以c2+1≥1>0，若a（c2+1）=b（c2+1），则a=b，故（2）是真命题； （3）真命题，理由如下：若ab=0,则a，b中至少有为0，即a=0或b=0，故（3）是真命题； （4）真命题，理由如下：若则因为c+d≠0，所以，故（4）是真命题. 2.（2020高一必修1课时练习）设a∈R，求关于x的方程ax=a2+x-1的解集. 【答案】】当a≠1时，解集为{a+1}； 当a=1时，解集为R. 【解析】移项，得（a-1）x=a2-1，当a≠1时，，故解集为{a+1}； 当a=1时，方程有无数个解，全体实数均可以，所以解集为R. 综上，当a≠1时，解集为{a+1}； 当a=1时，解集为R. 3.（2020高一必修1课时练习）设k∈R,求方程组的解集. 【答案】当k≠0时，解集为； 当k=0时，解集为Ø. 【解析】两式相减，得到kx=2， 当k≠0时，，代入方程组中的第一式，得到，此时，原方程组的解集为. 当k=0时，方程kx=2，无解，从而原方程组无解，其解集为空集Ø. 知识二 一元二次方程的解集及根与系数的关系 韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=. 题型一、一元二次方程的解集 【例4】（2020年新高一必修1教材例题）求一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解集. 【答案】当⊿>0时，x1=，x2=，解集为{，}； 当⊿=0时，x1=x2=，解集为；当⊿<0时,原方程无解，所以方程的解集为空集Ø. 【解析】由配方法，可将原方程改写为ax2+bx+c=a=0. 因此，原方程解的情况由其判别式⊿=b2-4ac的符号决定： 当⊿>0时，x1=，x2=，解集为{，}； 当⊿=0时，x1=x2=，解集为；；当⊿<0时,原方程无解，所以方程的解集为空集Ø. 题型二、与一元二次方程有关的证明 【例5】（2020高一必修1课时练习）证明：a