第5讲常用逻辑概念-【A+课堂】2021-2022学年高一数学同步精讲精练（沪教版2020必修第一册）

第5讲 常用逻辑概念 知识一 命题 1.命题的概念 (1)定义:一般地,我们把用语言、符号或式子表达,且可以判断真假的语句叫做命题.命题通常用陈述句表述. (2)分类:判断为真的陈述语句是真命题;判断为假的陈述语句是假命题. (3)结构形式:“若α,则β”形式的命题中,α称为命题的条件,β称为命题的结论. 2.推出关系 如果命题“若α,则β”为真命题,那么我们就称α推出β，记作αβ（或βα）. 要点：推出关系的传递性：若αβ且βγ，则αγ. 题型一、命题及其真假判断 【例1】下列语句是不是命题?若是命题,指出其真假;若不是命题,请说明理由. (1)是无限不循环小数; (2)x2+3x+2=0; (3)当x=4时,2x>0; (4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗? (5)一个数不是奇数就是偶数. 【答案】（1）（3）（5）是命题，（1）（3）是真命题，（5）是假命题. 【解析】(1)是命题,且是真命题. (2)不是命题,因为语句中含有变量x,在没有给x赋值前,无法判断x2+3x+2=0的真假. (3)是命题,且是真命题.因为x=4,所以2x=8>0. (4)不是命题,因为它是疑问句,没有作出任何判断,所以不能判断其真假. (5)是命题,且是假命题.因为数1.5既不是奇数也不是偶数. 题型二、命题的改写与推出关系的判断 【例2】（2020·上海高一课时练习）将下列命题改写成“若α,则β”的形式，并判断“αβ”是否成立. （1） 直角三角形的外心在斜边上； （2） 有理数是实数. 【答案】（1）αβ成立；（2）αβ成立. 【解析】（1）若一个三角形是直角三角形，则该三角形的外心在斜边上.这是一个真命题，初中学过，所以αβ成立； （2）若一个数是有理数，则这个数是实数.这是一个真命题，所以αβ成立. 举一反三 1.下列命题是真命题的有 . （1）2+2是有理数 （2）1+1>2 （3）奇数的平方仍是奇数 （4）两个集合的交集还是一个集合 【答案】（3）（4） 【解析】（1）2+2是无理数，故是假命题；（2）1+1=2，所以（2）不正确,是假命题；（3）举例可以验证奇数的平方仍然是奇数；（4）集合的运算结果仍然集合，所以（4）是真命题.故（3）（4）均为真命题. 2.(2020年上海高一课时练习）将下列命题改写成“若α,则β”的形式，并判断“αβ”是否成立. ①两个周长相等的三角形面积相等; ②已知x,y为正整数,当y=x+1时,y=3,x=2. 【答案】(1)αβ不成立；（2）αβ不成立. 【解析】①若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等，这是一个假命题，所以αβ不成立； ②若x,y为正整数且y=x+1，则“y=3,x=2.这是一个假命题，所以αβ不成立. 知识二 充分条件与必要条件 1.充分条件与必要条件 对于两个陈述句α与β，如果αβ，就称α是β的充分条件，或称β是α的必要条件. 2.充要条件 对于两个陈述句α与β，如果既有αβ，又有βα，我们就称α是β的充分必要条件，简称充要条件，记作αβ，读作“α与β等价”或“α成立当且仅当β成立”. 题型一、充分、必要条件的概念与判断 【例3】下列各题中,判断α是β的什么条件. (1)α:△ABC是直角三角形,β:△ABC是等腰三角形; (2)α:(a-2)(a-3)=0,β:a=3; (3)α:|x|=|y|,β:x=y. 【答案】(1)α是β的既不充分又不必要条件；（2）α是β的必要条件，但不是充分条件. 【解析】(1)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形. △ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形. 所以α既不是β的充分条件,也不是β的必要条件. (2)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定有a=3;由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0.因此,α是β的必要不充分条件. (3)因为|x|=|y|x=y,但x=y⇒|x|=|y|,所以α是β的必要条件,但不是充分条件. 【例4】　指出下列各组命题中，α是β的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)． (1)α：x＝1，β：x－1＝； (2)α：－1≤x≤5，β：x≥－1且x≤5； (3)α：x＋2≠y，β：(x＋2)2≠y2； (4)α：a是自然数；β：a是正数． 【答案】(1)α是β的充分不必要条件；（2）α是β的充要条件;(3)α是β的必要不充分条件；(4)α是β的既不充分又不必要条件． 【解析】(1)当x＝1时，x－1＝成立； 当x－1＝时，x＝1或x＝2. 所以α是β的充分不必要条件． (2)因为－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5， 所以α是β的充要条件． (3)由β：(x＋2)2≠y2， 得x＋2≠y，且x＋2≠－y，又