第4讲集合的运算-【A+课堂】2021-2022学年高一数学同步精讲精练（沪教版2020必修第一册）

第4讲 集合的运算 知识梳理 1.交集 由既属于集合A又属于集合B的所有元素构成的集合，叫集合A与B的交集，记作：，读作：A交B.即. 可以用文氏图表示出的三种不同情况： 2.并集 由所有属于集合A或属于集合B的所有元素构成的集合，叫集合A与B的并集，记作：（读作“A并B”），即. 可以用文氏图表示出的三种不同情况： 3.全集与补集 设U是全集，A是U的子集.由U中所有不属于A的元素组成的集合叫集合A在全集U中的补集，记作：(读作：A补，有些资料中，也用符号表示补集），即. 文氏图中阴影部分表示A的补集. 4.并集与交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A A∪A＝A A∩A＝A A∪Ø＝A A∩Ø＝Ø 补集的性质 (1)A∪＝U． (2)A∩＝Ø． (3)＝Ø，＝U，＝A． (4)∩＝． (5)∪＝． 题型探究 题型一、交集的运算 【例1】(1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B等于(　　) A．{1} B．{4} C．{1,3} D．{1,4} 【答案】D 【解析】因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1； 当x＝2时，y＝3×2－2＝4；当x＝3时，y＝3×3－2＝7； 当x＝4时，y＝3×4－2＝10.即B＝{1,4,7,10}． 又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}． (2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于(　　) A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4} 【答案】A 【解析】在数轴上表示出集合A与B，如图所示． 则由交集的定义，知A∩B＝{x|0≤x≤2}． 总结：求两个集合的交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．　 题型二、并集的运算 【例2】(1)设集合A＝{－1,0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}，则A∪B等于(　　) A．{－2} B．{－2,3} C．{－1,0，－2} D．{－1,0，－2,3} 【答案】D 【解析】因为A＝{－1,0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}＝{－2,3}， 所以A∪B＝{－1,0，－2,3}． (2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于(　　) A．{x|x>－2} B．{x|x>－1} C．{x|－2<x<－1} D．{x|－1<x<2} 【答案】A 【解析】　在数轴上表示出集合A与B，如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}． 总结：并集的运算技巧 (1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性． (2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值． 题型三、补集的运算 【例3】若集合A＝{x|－1≤x<1}，当U分别取下列集合时，求. (1)U＝R； (2)U＝{x|x≤2}； (3)U＝{x|－4≤x≤1}． 【答案】（1）＝{x|x<－1或x≥1};（2）＝{x|x<－1或1≤x≤2};（3）＝{x|－4≤x<－1或x＝1}. 【解析】　(1)把集合U和A表示在数轴上，如图所示． 由图知＝{x|x<－1或x≥1}． (2)把集合U和A表示在数轴上，如图所示． 由图知＝{x|x<－1或1≤x≤2}． (3)把集合U和A表示在数轴上，如图所示． 由图知＝{x|－4≤x<－1或x＝1}． 总结：求集合补集的策略 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助文氏图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错． (2)如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解．　 题型四、交集、并集性质的应用 【例4】已知全集U={-1,1,3},集合A={a+2,a2+2},且={-1},则a的值是(　　) A.-1 B.1 C.3 D.±1 【答案】A 【解析】因为全集U={-1,1,3},集合A={a+2,a2+2},且={-1}, 所以1,3是集合A的元素, 所以或 解得a=-1, 解无解. 所以a= -1.故选A. 【例5】已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|a<x<3a(a>0)}． (1)若A∪B＝B，求a的取值范围； (2)若A∩B＝Ø，求