第3讲集合之间的关系-【A+课堂】2021-2022学年高一数学同步精讲精练（沪教版2020必修第一册）

第3讲 集合之间的关系 知识梳理 1.文氏图（Venn图） (1)定义：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线（常以圆、椭圆或矩形）的内部代表集合，这种图称为文氏图（Venn图）． (2)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部． 2.集合间的基本关系 关系 定义 符号语言 文氏图 子集 对于两个集合A与B，如果集合A每个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做B的子集。 A⊆B (或B⊇A)读作：A包含于B或B包含A； 真子集 对于两个集合A与B，如果，且B中至少有一个元素不属于A（即B不是A的子集），那么就称集合A是集合B的真子集； AB或BA读作：A真包含于B或B真包含A。 集合相等 集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集 A＝B 注意:在有些资料中，集合A是集合B的真子集也被记作AB. 3.结论 （1）任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A. （2）传递性：如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C. （3）如果A⊆B,则AB或A＝B. 并且总是规定Ø⊆A.（空集是任何集合的子集） （4）空集是任何非空集合的真子集； 4.易混符号 ①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系 如ØR，{1}{1，2，3} ②Ø与0,{0},{Ø}的区别 Ø与0 Ø与{0} Ø与{Ø} 相同点 都表示 无的意义 都是集合 都是集合 不同点 Ø是集合 0是实数 Ø不含任何元素;{0}含一个元素0 Ø不含任何元素;{Ø}含一个元素,该元素是Ø 关 系 0∉Ø Ø{0} Ø{Ø}或Ø∈{Ø} 5.子集与真子集的区别与联系 1）一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集. 2）子集的个数： 含n个元素的集合的所有子集的个数是 2n ，所有真子集的个数是 2n-1 ，非空真子集数为 2n-2 。 题型探究 题型一、集合之间关系的判断 【例1】指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 【答案】（1）集合A和B没有包含关系；（2）AB（3）NM 【解析】(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B. (3)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故NM. 总结：判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察． (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． (3)数形结合法：利用数轴或文氏图． 题型二、集合相等　 【例2】已知A={1,x,2x},B={1,y,y2},若A⊆B,且A⊇B,求实数x和y的值. 【答案】x=2,y=2或x=,y=. 【解析】由A⊆B,且A⊇B知,A=B. 由集合相等的概念可得或 解方程组得或或 当x=0,y=0时,A={1,0,0},B={1,0,0}不符合集合中元素的互异性,舍去. 所以x=2,y=2或x=,y=. 总结：根据集合相等求参数,首先分析一个集合中元素与另一集合中哪个元素相等,分几种情况进行讨论,然后通过列方程(组)求解.当集合中的未知元素不止一个时,情况会更复杂,需要多次讨论.求出参数后要根据集合中元素的互异性进行检验,排除不合要求的解. 题型三、确定集合的子集、真子集 【例3】设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 【答案】A的子集为Ø，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}． 真子集为Ø，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}． 【解析】由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0， 解方程得x＝－4或x＝－1或x＝4. 故集合A＝{－4，－1,4}． 由0个元素构成的子集为Ø； 由1个元素构成的子集为{－4}，{－1}，{4}； 由2个元素构成的子集为{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}； 由3个元素构成的子集为{－4，－1,4}． 因此集合A的子集为Ø，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}． 真子集为Ø，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}． 题型四、根据集合间的关系求参数值（范围） 【例4】集合A={x|x2=4,x∈R},