专题3 集合之间的关系同步练 -2026年暑假预习新高一数学沪教版必修第一册

**基本信息** 本练习通过分层递进设计，以“概念辨析—关系应用—综合创新”为主线，覆盖集合关系全知识点，适配暑假预习需求，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|子集、真子集概念|通过辨析题（如空集与子集关系）巩固定义，例1及跟踪训练强化概念理解| |能力应用层|子集个数、集合关系判断|结合Venn图（例11）及符号表示（例9），训练集合关系直观与抽象表达| |综合创新层|含参数问题、新定义|设置生成集（例17）、“大境集”等创新题型，提升知识迁移与问题解决能力|

2026-2027年上海高一数学必修一暑假班预习提升讲义 专题03 集合之间的关系 知识点一、子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 性质 （1）反身性：任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； （2）传递性：对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C （3）规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A 【注意】 “A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. 知识点二、真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⊂B(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 性质 （1）空集是任何非空集合的子集． （2）传递性：对于集合A，B，C，如果A⊂B，且B⊂C，那么A⊂C. 【注意】 (1)在真子集的定义中，A⊂B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别：∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅⊂{0}． 知识点三、集合的相等与子集的关系 1．如果A⊆B且B⊆A，则A=B． 2．如果A=B，则A⊆B且B⊆A． 知识点、有限集合的子集个数 若集合A中有n个元素，则集合A的所有子集的个数为2n，真子集个数为2n－1，非空子集个数2n－1，非空真子集个数为2n－2． 知识点一、子集与真子集的概念 题型一、子集、真子集的概念辨析 【例1】下列说法中，正确的是 ．（填序号） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 【跟踪训练】 1.下列说法中，正确的有________ （1）空集是任何集合的真子集 （2）若，，则 （3）任何一个集合必有两个或两个以上的真子集 （4）若不属于的元素一定不属于，则 2.下列命题中正确的是（　　） A．空集没有子集 B．空集是任何一个集合的真子集 C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 D．设集合B⊆A，那么，若x∉A，则x∉B 题型二、求集合的子集（真子集） 【例2】写出集合的所有子集和它的真子集. 【例3】设，． (1)写出集合A的所有子集； (2)若B为非空集合，求a的值． 【跟踪训练】 1.（1）已知集合，则集合的子集依次是________． （2）已知集合，则集合的真子集依次是________． 2.集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 3.集合的所有子集中的元素之和为______ 4.已知，，若，则集合中的所有非空子集的元素之和为_______ 题型三、求集合的子集（真子集）的个数 【例4】已知集合，则集合的子集有______个。 【例5】设集合，则集合M的真子集个数为______ 【例6】已知，则符合条件的集合的个数是_____ 【跟踪训练】 1.已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是______ 2.满足{a，b}⊆A⊆{a，b，c，d，e}的集合A的个数为 　　． 3.设集合，则集合的子集个数为________ 4.满足{1，2，3}的所有集合A是___________． 5.设集合，且，若，，则集合M的非空真子集的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．15 题型四、由集合子集（真子集）的个数求参数 【例7】若集合有且仅有两个子集，则实数的值是 . 【跟踪训练】 1.设集合A＝{x|ax+1＝0，x∈R}只有一个子集，则满足要求的实数a＝　　． 2.已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}有且仅有两个子集，则实数a＝　　． 3.已知集合A＝{x|（k+1）x2+2x﹣1＝0}有且仅有两个子集，则实数k＝　　． 4.若集合{x|kx2+3x+2＝0，x∈R}至多有两个子集，则实数k的取值范围为 　　． 知识点二、 集合与集合间关系 题型五、判断集合之间关系 【例8】若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.若集合，，则集合A与B的关系是（ ） A． B． C． D．不确定 2.下列集合关系中错误的是（    ） A． B． C． D． 3.若，，则必有（    ） A． B． C． D． 4.已知集合M＝，S＝，P＝，则集合M，S，P的关系为（　　） A．M＝S⊆P B．M⊆S＝P C．M⊆S⊆P D．S⊆P⊆M 5.集合S＝{x|x＝m+，m∈Z}，P＝{x|x＝+，n∈Z}，Q＝{x|x＝，k∈Z}，则S、P、Q之间的关系是（　　） A．S⊂P⊂Q B．S⊂P＝Q C．S＝P⊂Q D．P⊂Q⊂S 题型六、用符号表示两个集合间的关系 【例9】下面六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的是__． 【例10】集合，，则 ．（填“”“”“”或“”） 【跟踪训练】 1.下列表达式中正确的序号是： （写出所有正确的序号） ①；②；③；④． 2.在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的为 （填写所有正确的序号）． 3.用符号“”、“＝”或“”填空： （1） ； （2） ； （3） ． 4.指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)是等边三角形}，是等腰三角形}． 题型七、用Venn图表示两个集合间的关系 【例11】已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（       ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是（　　） ①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U． A．①③ B．②③ C．③④ D．③⑥ 2.已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　） A． B． C． D． 3.已知集合，若关系如图所示，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型八、由集合之间的关系求参数范围 【例12】已知集合，，，则实数m的值为（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【例13】已知集合，．若，求实数的取值范围． 【例14】已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【跟踪训练】 1.已知集合，，若，则实数的取值组成的集合是（       ） A． B． C． D． 2.已知集合，.若，求实数的取值范围. 3.已知集合，，若，求a的取值范围． 4.设集合. (1)当时，求的非空真子集的个数； (2)若，求的取值范围. 知识点四、综合提升 题型九、综合提升 【例15】设集合是整数集的一个非空子集，对于任意，若且，则称为集合的一个“孤立元”.给定集合，则由中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有 个，分别为 【例16】已知集合，求： (1)若集合至多有1个元素，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【例17】定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． (1)求集合的生成集； (2)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； (3)若集合，的生成集为，求证． 【跟踪训练】 1.已知a∈R，x∈R，集合A＝{2，4，x2﹣5x+9}，B＝{3，x2+ax+a}，C＝{x2+（a+1）x﹣3，1}． (1)当2∈B，B⊆A时，求a、x的值； (2)当B＝C时，求a、x的值． 2.含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题.求集合所有非空子集的元素和的总和； 一、填空题 1.已知集合，集合的子集个数是______ 2.集合的真子集的个数为______ 3.已知集合，则__________．（请在横线上填写“”､“”或“”） 4.已知集合，，若，则满足集合的个数为_____ 5.已知集合，．若，则实数的取值集合为 ． 6.设集合，S的所有非空子集的元素之和为128，则 ． 7.已知，则集合A的非空真子集的个数为 ． 8.若集合，且中至少含有两个奇数，则满足条件的集合的个数是 . 9.已知集合P＝{x|2x2+x﹣3＝0}，Q＝{x|mx＝1}，若Q⊆P，则实数m的取值集合为 　． 10.已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是______. 11.设集合，，若，则对应的实数对共有______对 12.若三个非零且互不相等的实数满足，则称是调和的；若满足，则称是等差的．已知集合，集合是的三元子集，即．若集合中元素既是调和的，又是等差的，则称集合为“大境集”．不同的“大境集”的个数为 ． 二、选择题 13.下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 14.设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 14．若集合的子集只有一个，则实数的取值情况是（    ） A．或 B． C． D． 16. 对于任意两个数x，y（x，y∈N*），定义某种运算“◎”如下： ①当或时，x◎y＝x+y；②当时，x◎y＝xy． 则集合A＝{（x，y）|x◎y＝10}的子集个数是（　　） A．214个 B．213个 C．211个 D．27个 三、解答题 17.已知集合． (1)若集合，且，求实数的值； (2)若集合，且，求实数的取值范围． 18.已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 19.已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 20.已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 21.已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”. (1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由； (2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有； (3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年上海高一数学必修一暑假班预习提升讲义 专题03 集合之间的关系 知识点一、子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 性质 （1）反身性：任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； （2）传递性：对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C （3）规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A 【注意】 “A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. 知识点二、真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⊂B(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 性质 （1）空集是任何非空集合的子集． （2）传递性：对于集合A，B，C，如果A⊂B，且B⊂C，那么A⊂C. 【注意】 (1)在真子集的定义中，A⊂B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别：∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅⊂{0}． 知识点三、集合的相等与子集的关系 1．如果A⊆B且B⊆A，则A=B． 2．如果A=B，则A⊆B且B⊆A． 知识点、有限集合的子集个数 若集合A中有n个元素，则集合A的所有子集的个数为2n，真子集个数为2n－1，非空子集个数2n－1，非空真子集个数为2n－2． 知识点一、子集与真子集的概念 题型一、子集、真子集的概念辨析 【例1】下列说法中，正确的是 ．（填序号） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 【答案】①③ 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】需要理解子集，真子集，集合相等的概念，例如要理解如果，不一定能得出，也存在． 【详解】解：①若，则，正确； ②若，不一定，也存在，故错误； ③若，则，正确； ④若，不一定，也存在，故错误； 故答案为：①③． 【跟踪训练】 1.下列说法中，正确的有________ （1）空集是任何集合的真子集 （2）若，，则 （3）任何一个集合必有两个或两个以上的真子集 （4）若不属于的元素一定不属于，则 【答案】（2）（4） 【分析】根据集合子集、真子集、包含关系可判断（1）（2）（3），画韦恩图可判断（4），进而可得正确答案. 【详解】对于（1）：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故（1）错误； 对于（2）：子集具有传递性，若，，则，故（2）正确； 对于（3）：若一个集合是空集，则它没有真子集，故（3）错误； 对于（4）：任何不属于的元素一定不属于，则由韦恩图可知（4）正确； 故答案为：（2）（4）. 2.下列命题中正确的是（　　） A．空集没有子集 B．空集是任何一个集合的真子集 C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 D．设集合B⊆A，那么，若x∉A，则x∉B 【分析】利用子集、真子集、空集的定义直接求解． 【解答】解：对于A，空集的子集是空集，故A错误； 对于B，空集是任何一个非空集合的真子集，故B错误； 对于C，空集只有一个子集，故C错误； 对于D，设集合B⊆A，那么，若x∉A，则x∉B，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查命题真假的判断，考查子集、真子集、空集的定义等基础知识，是基础题． 题型二、求集合的子集（真子集） 【例2】写出集合的所有子集和它的真子集. 【答案】答案见解析. 【分析】根据子集和真子集的定义进行求解即可. 【详解】集合的所有子集为； 集合的所有真子集为. 【例3】设，． (1)写出集合A的所有子集； (2)若B为非空集合，求a的值． 【答案】(1)； (2)3 【分析】（1）求解即可得； （2）由B为非空集合，得或或，分别将元素代入解出a即可. 【详解】（1）由解得或，则， 故集合A的子集为：； （2）B为非空集合，得或或， 由或代入可得，故a的值为3. 【跟踪训练】 1.（1）已知集合，则集合的子集依次是________． （2）已知集合，则集合的真子集依次是________． 【答案】 ，，，，，，， ，， 【分析】（1）根据列举法和子集的定义可求出结果，依次可以按集合元素的个数来列举； （2）根据列举法和真子集的定义可求出结果，依次可以按集合元素的个数来列举． 【详解】解：（1）集合子集依次是：，，，，，，，； 故答案为：，，，，，，，； （2）集合的真子集依次：，，； 故答案为：，，． 2.集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由真子集的定义对选项一一判断即可得出答案. 【解答过程】 ，故A错误； ，故B错误； 因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误； 是集合的真子集，故C正确. 故选：C. 3.集合的所有子集中的元素之和为______ 【解题思路】根据子集概念分析即可求解. 【解答过程】， 集合的所有子集有：， ， 1，3，5，7分别在子集中各出现8次，. 故选：B． 4.已知，，若，则集合中的所有非空子集的元素之和为_______ 【解题思路】根据给定条件，利用列举法表示出集合，进而求出结果. 【解答过程】由，，得， 含有数1的的子集有：，共8个， 同理含有数2、4、8的的子集都各有8个， 所以集合中的所有非空子集的元素之和为. 题型三、求集合的子集（真子集）的个数 【例4】已知集合，则集合的子集有______个。 【分析】列举出集合的子集即可得解. 【详解】因为集合， 所以集合的子集有共个. 【例5】设集合，则集合M的真子集个数为______ 【分析】求出集合中的元素，再由子集的定义求解． 【详解】 由题意， 因此其真子集个数为． 【例6】已知，则符合条件的集合的个数是_____ 【分析】由条件分析集合的元素的特征，列举满足条件的的个数即可得解. 【详解】因为， 所以或或或，即满足条件的集合的个数为4. 【跟踪训练】 1.已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是______ 【分析】由题意得，集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，即可求解. 【详解】当中有元素时，， 当中有元素时，， 所以， 所以集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合， 故满足题意的集合有，共11个. 2.满足{a，b}⊆A⊆{a，b，c，d，e}的集合A的个数为 　　． 【分析】根据已知条件，结合集合的包含关系，即可求解． 【解答】解：{a，b}⊆A⊆{a，b，c，d，e}， 则集合A为{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}，{a，b，c，d，e}， 故集合A的个数为8个． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查集合的包含关系，属于基础题． 3.设集合，则集合的子集个数为________ 【答案】16 【分析】先化简集合A，再利用子集的定义求解． 【详解】， 故A的子集个数为， 故答案为：16 4.满足{1，2，3}的所有集合A是___________． 【答案】{1}或{1，2}或{1，3} 【分析】由题意可得集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，从而可求出集合A 【详解】因为{1，2，3}， 所以集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集， 所以集合A是{1}或{1，2}或{1，3}， 故答案为：{1}或{1，2}或{1，3} 5.设集合，且，若，，则集合M的非空真子集的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．15 【答案】B 【分析】求得集合，即可求得结果. 【详解】根据题意知，集合且，其非空真子集的个数为. 故选：B 题型四、由集合子集（真子集）的个数求参数 【例7】若集合有且仅有两个子集，则实数的值是 . 【答案】 【分析】通过集合有且仅有两个子集，可知集合中只有一个元素，根据二次项系数是否为分类讨论. 【详解】由集合有且仅有两个子集，得中只有一个元素. 当即时，，符合题意. 当即时， 解得. 故答案为： 【跟踪训练】 1.设集合A＝{x|ax+1＝0，x∈R}只有一个子集，则满足要求的实数a＝　　． 【分析】根据已知条件，推得A为∅，即可求解． 【解答】解：集合A＝{x|ax+1＝0，x∈R}只有一个子集， 则A＝{x|ax+1＝0，x∈R}＝∅， 所以方程ax+1＝0无解，即a＝0． 故答案为：0． 【点评】本题主要考查子集的定义，属于基础题． 2.已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}有且仅有两个子集，则实数a＝　　． 【分析】结合已知条件，求出（a﹣1）x2+3x﹣2＝0的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可． 【解答】解：若A恰有两个子集， 所以关于x的方程恰有一个实数解， ①当a＝1时，，满足题意； ②当a≠0时，Δ＝8a+1＝0，所以， 综上所述，a＝1或． 故答案为：1或． 【点评】本题主要考查集合子集的应用，属于基础题． 3.已知集合A＝{x|（k+1）x2+2x﹣1＝0}有且仅有两个子集，则实数k＝　　． 【分析】根据集合A＝{x|（k+1）x2+2x﹣1＝0}有且仅有两个子集，转化为方程（k+1）x2+2x﹣1＝0有一个解或两个相同的实数根即可． 【解答】解：∵集合A＝{x|（k+1）x2+2x﹣1＝0}有且仅有两个子集，∴方程（k+1）x2+2x﹣1＝0有一个解或两个相同的实数根即可， 当k＝﹣1时，，符合题意； 当k≠﹣1时，Δ＝4+4（k+1）＝0⇒k＝﹣2； 所以实数k＝﹣1或k＝﹣2． 故答案为：﹣1或﹣2． 【点评】本题主要考查了集合子集的定义，属于基础题． 4.若集合{x|kx2+3x+2＝0，x∈R}至多有两个子集，则实数k的取值范围为 　　． 【分析】由题意可知，方程kx2+3x+2＝0至多有1个实根，再分k＝0和k≠0两种情况讨论，分别求出k的取值范围，最后取并集即可． 【解答】解：∵集合{x|kx2+3x+2＝0，x∈R}至多有两个子集， ∴方程kx2+3x+2＝0至多有1个实根， ①当k＝0时，方程化为3x+2＝0，根为x＝﹣，符合题意， ②当k≠0时，Δ＝9﹣8k≤0，解得k≥， ∴k 综上所述，实数k的取值范围为{0}∪[，+∞）． 故答案为：{0}∪[，+∞）． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的个数问题，属于基础题． 知识点二、 集合与集合间关系 题型五、判断集合之间关系 【例8】若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，， ，而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以. 故选：C. 【跟踪训练】 1.若集合，，则集合A与B的关系是（ ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【解析】因为集合A中的元素，都在集合B中，而B中的元素不一定都在A中， 所以，故选：. 2.下列集合关系中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于A：集合为点集，含有元素，集合含有两个元素，， 所以不包含于，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以，故D正确； 故选：A 3.若，，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先判断P是实数集合，再判断Q是点集，然后得出结果. 【详解】是大于等于零的实数构成的集合， 而是由抛物线上的点构成的集合，两个不同属性的集合没有关系，所以ABD都不对， 故选：C. 4.已知集合M＝，S＝，P＝，则集合M，S，P的关系为（　　） A．M＝S⊆P B．M⊆S＝P C．M⊆S⊆P D．S⊆P⊆M 【分析】根据集合间的包含关系可解． 【解答】解：对集合M、S、P进行变换，则M＝＝{x|，m∈Z}，S＝＝{x|，s∈Z}，P＝＝{x|x＝，p∈Z}， 因为m、s、p∈Z， 所以M⊆S＝P， 故选：B． 【点评】本题考查集合间的包含关系，属于基础题． 5.集合S＝{x|x＝m+，m∈Z}，P＝{x|x＝+，n∈Z}，Q＝{x|x＝，k∈Z}，则S、P、Q之间的关系是（　　） A．S⊂P⊂Q B．S⊂P＝Q C．S＝P⊂Q D．P⊂Q⊂S 【分析】先化简三个集合，再根据集合的关系即可求解． 【解答】解：∵S＝{x|x＝m+，m∈Z}＝{x|x＝，m∈Z}， P＝{x|x＝+，n∈Z}＝{x|x＝，n∈Z}， Q＝{x|x＝，k∈Z}＝{x|x＝，k∈Z}＝{x|x＝，n∈Z}， ∴S⊂P＝Q， 故选：B． 【点评】本题考查集合的关系，属基础题． 题型六、用符号表示两个集合间的关系 【例9】下面六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的是__． 【答案】①③⑤ 【分析】根据集合与集合，元素与集合的关系判断即可. 【详解】空集是任何集合的子集，故①正确； 由元素与集合的关系可知，，故②错误，⑤正确； 由集合与集合的关系可知，，故③正确，④⑥错误； 故答案为：①③⑤ 【例10】集合，，则 ．（填“”“”“”或“”） 【答案】 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】通过对，研究集合，与集合比较即可判断． 【详解】解：对于，时，； 时，， ， 故答案为：． 【跟踪训练】 1.下列表达式中正确的序号是： （写出所有正确的序号） ①；②；③；④． 【答案】② 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】利用元素与集合，集合与集合之间的关系判断即可. 【详解】，故①错误；空集为任何非空集合的真子集，故②正确； 为无理数，故③错误；是的子集，所以，故④错误； 故答案为：② 2.在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的为 （填写所有正确的序号）． 【答案】② 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、空集的性质及应用 【分析】由数集定义、空集性质及集合的关系判断各项正误即可. 【详解】由数集的定义知：，，则①③错； 由空集性质和集合关系知：，，则②对，④错. 故答案为：② 3.用符号“”、“＝”或“”填空： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等 【分析】根据集合的包含关系，子集，集合相等的概念解题即可 【详解】（1）； （2）矩形属于平行四边形，则； （3）表示奇数，也表示奇数． 则． 故答案为：；；. 4.指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)是等边三角形}，是等腰三角形}． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】（1）根据真子集的定义，来进行判断； （2）根据真子集的定义，能看懂范围的区间表示，进行判断； （3）根据真子集的定义，理解等边三角形和等腰三角形的区别，进行判断． 【详解】（1）解：中唯一元素， 又， ； （2）解：， 的元素都是的元素，而的元素不是的元素， ； （3）解：是等边三角形}，是等腰三角形}， 又∵为等边三角形也是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形； ． 题型七、用Venn图表示两个集合包含关系 【例11】已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由图可得，由选项即可判断． 【详解】 解：由图可知：， ， 由选项可知：， 故选：D． 【跟踪训练】 1.已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是（　　） ①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U． A．①③ B．②③ C．③④ D．③⑥ 【答案】D 【分析】观察Venn图中集合U，S，T，F的关系，分别进行判断，能够得到正确答案． 【详解】观察Venn图中集合U，S，T，F的关系， ①S∈U，故错误； ②F⊆T，故错误， ③S⊆T，故正确； ④S⊆F；故错误， ⑤S∈F；故错误， ⑥F⊆U故正确 故选D． 2.已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得集合，判断出的关系，由此确定正确选项． 【详解】 N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以N⊆M，所以选B． 故选：B 3.已知集合，若关系如图所示，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意得到，即可求解. 【解答过程】， 由图可知, 所以， 故选：D. 题型八、由集合之间的关系求参数范围 【例12】已知集合，，，则实数m的值为（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】 或（不可能，舍去）或（不可能，舍去）故选：B 【例13】已知集合，．若，求实数的取值范围． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），解得即可. 【详解】因为，且， 当，即时，符合题意； 当，则，解得， 综上可得. 【例14】已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)不存在 【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，结合，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：①当时，即，解得，此时满足； ②当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. （2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解， 所以实数不存在，即不存在实数使得. 【跟踪训练】 1.已知集合，，若，则实数的取值组成的集合是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】集合，， 当，即时，显然满足条件； 当时，， 因为，所以或，即或，解得或； 综上，实数的取值组成的集合是.故选：D. 2.已知集合，.若，求实数的取值范围. 【答案】或. 【分析】由题意，求得，再根据，结合韦达定理分和两种情况讨论即可求出答案． 【详解】由，则. ， 为方程的解集. ①若，则， 或或， 当时有两个相等实根，即不合题意，同理， 当时，符合题意； ②若则，即， 综上所述，实数的取值范围为或 3.已知集合，，若，求a的取值范围． 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，当时，利用数轴列出不等式组即可. 【详解】当时，，解得， 当时，因为，则，解得， 综上. 4.设集合. (1)当时，求的非空真子集的个数； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)254 (2) 【分析】（1）由题得即可解决.（2）根据得，即可解决. 【详解】（1）由题知，， 当时，共8个元素， 的非空真子集的个数为个； （2）由题知， 显然， 因为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 知识点四、综合提升 题型九、综合提升 【例15】设集合是整数集的一个非空子集，对于任意，若且，则称为集合的一个“孤立元”.给定集合，则由中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有 个，分别为 【答案】 4 、、、 【分析】根据集合的新定义，可得集合不含“孤立元”，则集合中的三个数必须连在一起，利用列举法，即可求解. 【详解】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合不含“孤立元”， 则集合中的三个数必须连在一起， 所以符合题意的集合是，，，，共4个． 故答案为：4，、、、 【例16】已知集合，求： (1)若集合至多有1个元素，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由集合元素的个数转化为方程根的个数列不等式即可求得实数的取值范围； （2）根据集合关系，讨论或只有负根，列不等式即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）若集合至多有1个元素，则至多一个实根 所以，故； （2）由题意得或只有负根， 当时，，故， 当只有负根时，，无解， 综上，实数的取值范围为. 【例17】定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． (1)求集合的生成集； (2)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； (3)若集合，的生成集为，求证． 【解题思路】（1）根据定义计算即可求解； （2）根据定义计算出集合中的元素，再根据的子集个数为4个得出中有2个元素，分别列出方程，求解即可； （3），，根据作差法得出，结合，即可证明． 【解答过程】（1）由题可知： ①当时，， ②当时，， ③当，或时，， 所以． （2）①当时，， ②当时，， ③当，或，时，， 的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或或， 解得或或（舍去）． （3）证明：，， ， ， ，即， ，又，所以， 综上可得． 【跟踪训练】 1.已知a∈R，x∈R，集合A＝{2，4，x2﹣5x+9}，B＝{3，x2+ax+a}，C＝{x2+（a+1）x﹣3，1}． (1)当2∈B，B⊆A时，求a、x的值； (2)当B＝C时，求a、x的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】由题意，根据集合之间的关系，建立方程组，可得答案. 【详解】（1）∵2∈B，B⊆A，∴x2+ax+a＝2且x2﹣5x+9＝3， ∴当x＝2时，；当x＝3时，. （2）∵B＝C，即{3，x2+ax+a}＝{x2+（a+1）x﹣3，1}， ∴，两式相减得x＝5+a， 将x＝5+a代入x2+ax+a＝1，可得a2+8a+12＝0，解得a＝﹣2或a＝﹣6． 当a＝﹣2时，x＝3；当a＝﹣6时，x＝﹣1， ∴或． 2.含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题.求集合所有非空子集的元素和的总和； 【解题思路】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和. 【解答过程】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为； （2）在集合所有非空子集中，数字1与中的元素构成子集， 故数字1在集合所有非空子集中共出现次， 同理2，3，4，5，6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. 一、填空题 1.已知集合，集合的子集个数是______ 【分析】根据集合的子集定义，即可求得. 【详解】集合的子集分别是：，，，共有4个. 2.集合的真子集的个数为______ 【分析】根据给定条件，利用列举法表示集合，进而求出真子集个数. 【详解】依题意，，即，而，因此，， 所以集合的真子集个数为. 3.已知集合，则__________．（请在横线上填写“”､“”或“”） 【答案】 【分析】根据，为奇数即可求解. 【详解】由于，为奇数， 而为任意整数， 所以，即. 故答案为： 4.已知集合，，若，则满足集合的个数为_____ 【解析】因为， 所以可以是，共8个， 5.已知集合，．若，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【解析】由题意，所以或，则或， 所以实数的取值集合为. 故答案为：. 6.设集合，S的所有非空子集的元素之和为128，则 ． 【答案】8 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、求集合的子集（真子集） 【分析】根据给定条件，求出含有每个元素的集合个数，再求和计算可得结果. 【详解】依题意集合的所有非空子集中含有元素的子集有： ； 共16个； 同理集合的所有非空子集中含有元素的子集都各有16个； 依题意可知，， 所以. 故答案为：8 7.已知，则集合A的非空真子集的个数为 ． 【答案】6 【知识点】列举法求集合中元素的个数、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据描述法表示的集合元素特征，可知，即可求得结果. 【详解】由可知是15的约数，又，因此可以是； 此时，即可得， 所以集合A的非空真子集的个数为个. 故答案为：6 8.若集合，且中至少含有两个奇数，则满足条件的集合的个数是 . 【答案】175 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】考虑反面的两种情况，得到若中不含有奇数和中只含有1个奇数时的情况数，再用的真子集个数减去前面求解的两者即可. 【详解】考虑反面的两种情况， 若中不含有奇数，则集合的个数等价于集合的子集的个数，即个， 若中只含有1个奇数，集合中共有4个奇数，故有4种可能， 集合的个数等价于集合的子集的个数的4倍，即， 的真子集个数共有， 所以中至少含有两个奇数时，满足条件的集合个数为. 故答案为：175 9.已知集合P＝{x|2x2+x﹣3＝0}，Q＝{x|mx＝1}，若Q⊆P，则实数m的取值集合为 　． 【分析】先求出集合P，再分Q是否为空集讨论，即可求解． 【解答】解：P＝{x|2x2+x﹣3＝0}＝， 当m＝0时，Q＝∅，满足题意， 当m≠0时，Q＝， 或，解得或m＝1， 故实数m的取值集合为{0，1，}． 故答案为：{0，1，}． 【点评】本题主要考查集合的包含关系，属于基础题． 10.已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】由题可得，集合，当时，，满足； 当时，，若，则，且，即 综上可得，实数a的取值范围是故答案为： 11.设集合，，若，则对应的实数对共有______对 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由绝对值解出集合，再由得到，或，或，然后由元素的互异性讨论即可； 【详解】由得，所以， 因为，所以，或，或， 当时，即，，此时，成立，即； 当时，即，，此时，成立，即； 当时，则或-3， 当时，即，，此时，成立，即； 当时，即，，此时，成立，即； 综上，共有4对， 故选：D. 12.若三个非零且互不相等的实数满足，则称是调和的；若满足，则称是等差的．已知集合，集合是的三元子集，即．若集合中元素既是调和的，又是等差的，则称集合为“大境集”．不同的“大境集”的个数为 ． 【答案】1010 【分析】由为“大境集”的定义解方程，将全用代换，结合可求解. 【详解】联立得，即，，展开得，解得或（根据集合的互异性，舍去），代入得， 则， 所以为4的整数倍，且不为0，则共有个不同的“大境集”的个数. 故答案为：1010 二、选择题 13.下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【答案】C 【分析】利用空集的性质以及子集，真子集的定义、元素与集合的属于关系、集合与集合的包含关系对各个问题逐个判断即可求解． 【详解】解：A．空集只有一个子集，是它本身，故错误，不符合题意； B．空集是任何非空集合的真子集，故错误，不符合题意； C．若且，则，正确，符合题意； D．若且，则不一定相等，故错误，不符合题意； 故选：C． 14.设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：， 显然24的倍数均为12的倍数，但12的倍数不一定是24的倍数，例如12， 所以是的真子集，对比选项可知B正确，ACD错误. 故选：B. 14．若集合的子集只有一个，则实数的取值情况是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】集合是空集的时候满足题意， 求无解时的取值范围即可. 【详解】集合的子集只有一个，所以集合是空集， 当时，，满足条件； 当时，有，即，集合是空集，满足条件， 综上所述，集合的子集只有一个时，， 故选：C. 【点睛】本题考查了集合的性质，空集的性质. 16. 对于任意两个数x，y（x，y∈N*），定义某种运算“◎”如下： ①当或时，x◎y＝x+y；②当时，x◎y＝xy． 则集合A＝{（x，y）|x◎y＝10}的子集个数是（　　） A．214个 B．213个 C．211个 D．27个 【分析】利用列举法分别针对两种情况列出A中对应的元素即可求解． 【解答】解：①若x，y同为奇数或偶数时； ∵x◎y＝x+y＝10， ∴同时为偶数时：（2，8），（4，6），（6，4），（8，2）；同时为奇数时：（1，9），（3，7），（5，5），（7，3），（9，1）； ②当x为偶数，y为奇数时； ∵x◎y＝xy． ∴（2，5），（10，1） ∴综上所诉：集合A中共含有11个元素，故其子集个数为：211个． 故选：C． 【点评】本题考查了集合子集的个数问题，考查学生的分析能力，属于基础题． 三、解答题 17.已知集合． (1)若集合，且，求实数的值； (2)若集合，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)0或或2 (2) 【分析】（1）可得，根据包含关系分、和三种情况运算求解； （2）根据包含关系分、和三种情况运算求解，注意检验. 【详解】（1）因为集合， 若，且集合，则有： 若，可得； 若，则，可得； 若，则，可得； 所以实数的值为0或或2. （2）因为，且集合，则有： 若，显然，则，可得； 若，则，可得， 此时，不合题意； 若，则，此时，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 18.已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 【解析】（1）由题意可知，所以其子集为：，真子集为； （2）由题意可知， 所以其子集为：，共个， 真子集为：，共个， 非空真子集为：，共个； （3）由（1），（2）可猜想含有n个元素的集合其子集个数为个，真子集个数为个， 非空真子集个数为个. 19.已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 20.已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【解题思路】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 21.已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”. (1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由； (2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有； (3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的. 【答案】(1)不是，是，理由见解析 (2)证明过程见解析. (3)334， 【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义 【分析】（1）根据题目信息进行计算，得到不是，是； （2）利用反证法进行证明； （3）结合（2），得到尽可能小，取，得到答案. 【详解】（1）不是，是，理由如下： 中，令，则， 由于，故不是集合的“好子集”， 中，当时，，此时都不能整除， 当时，，此时都不能整除， 当时，，此时都不能整除， 综上：是集合的“好子集”； （2）假设原命题为假命题， 即若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有， 显然，且均为正整数， 当时，由于1能整除任何正整数，故能整除，不合要求， 当时，则是两个奇数，或是两个偶数，此时为偶数， 故故能整除，所以不合要求， 故假设不成立， 又由（1）知，当时，满足是的“好子集”，且， 综上：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有 （3）由（2）知，集合的“好子集”所含两个不同的元素，满足， 要想所含元素个数最大，则要尽可能小，故需使得的最小值为3， 故可取，通过验证，此时满足不能整除， 故集合的“好子集”所含元素个数的最大值为， . 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $