1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

1．1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 1．理解空间向量的坐标表示，掌握向量的运算与坐标的关系及应用，重点提升数学运算核心素养． 2．理解空间直角坐标系，并能应用坐标系表示点及向量的坐标，重点培养直观想象核心素养． 　空间中向量的坐标 1．在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任作一向量＝xi＋yj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？，根据平面向量基本定理， 提示：相同． 2．如果向量与实数对(x，y)之间是否一一对应？也用(x，y)表示，那么这种向量 提示：是一一对应． 1．单位正交基底 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底． 2．空间向量的坐标 在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)．其中x，y，z都称为p的坐标分量． 　空间向量的运算与坐标的关系及空间向量的平行与垂直 1．如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算间的关系？ 提示：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多了一个竖坐标，其运算法则相似． 2．在平面内，非零向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)共线、垂直的充要条件是什么？ 提示：a，b共线的充要条件：存在实数λ，使a＝λb，用坐标表示为a1＝λb1，a2＝λb2. a，b垂直的充要条件：a·b＝0，用坐标表示为：a1b1＋a2b2＝0. 空间中两个向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2) 向量运算 坐标表示 a＋b (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) a－b (x1－x2，y1－y2，z1－z2) μa＋vb (μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2) a·b x1x2＋y1y2＋z1z2 a∥b a∥b⇔＝＝ (a的每一个坐标分量不为零) a⊥b a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 |a| |a|＝)＋z＋y＝ cos〈a，b〉 cos〈a，b〉＝ ＝))＋z＋y)·\r(x＋z＋y 　空间直角坐标系及空间向量坐标的应用 1．直角坐标平面上点M怎么表示？ 提示：可以用一对有序实数(x，y)表示，记作M(x，y)． 2．在平面直角坐标系中，设A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 (1)＝________； (2)||＝________； (3)设M为AB的中点，则＝________，M点的坐标为________． 提示：(1)(x2－x1，y2－y1)； (2)； (3).　 1．空间直角坐标系 (1)在空间中任意选定一点O作坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴，这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz. (2)在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴，y轴画成水平放置，x轴正方向和y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直．如图(1)(2)所示． (3)建立了空间直角坐标Oxyz之后，如上图所示，设M为空间中一点，过M分别作垂直于x轴，y轴，z轴的平面，设这些平面与x轴，y轴，z轴依次交于点P，Q，R，且P，Q，R在x轴、y轴，z轴上的坐标分别为x，y，z.点M与三个有序实数组(x，y，z)之间有了一一对应关系．空间一点M的位置完全由有序实数组(x，y，z)确定．因此将(x，y，z)称为点M的坐标，记作M(x，y，z)．此时，x，y，z都称为点M的坐标分量，且x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或z坐标)． 2．空间向量坐标的应用 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间直角坐标系中的两点，则 (1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． (2)AB＝|． |＝ (3)设线段AB的中点为M(x，y，z)， 则点M的坐标为． 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间直角坐标系中，向量的坐标与终点B的坐标相同．(　　) (2)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，则.(　　)＝＝ (3)四边形ABCD是平行四边形，则向量的坐标相同．(　　)与 (4)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，使a⊥b成立的x与使a∥b成立的x分别为(　　) A.，6 ，－6　　　　　　 B.－ C．－6， D.6，－ 解析：若a⊥b，