1.1.2 空间向量基本定理-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

1．1.2　空间向量基本定理 1．理解共面向量定理，并能判定有关共面问题，重点培养直观想象核心素养． 2．理解空间向量基本定理、基底、基向量的概念，并能解决一些几何问题，重点提升逻辑推理核心素养． 　共面向量定理 1．在平面向量中，两个向量共线的充要条件是什么？为什么要求a≠0? 提示：向量a(a≠0)与向量b共线的充要条件是有唯一一个实数λ，使b＝λa.由于我们已经规定了0与任意向量平行，所以当a＝0时，a与b是共线向量，可如果b≠0，就不存在实数λ，使b＝λa成立． 2．同一平面内的三个向量a，b，c，若a与b不共线，则向量c能否用a与b来表示？若能，如何表示？ 提示：根据平面向量基本定理，在a与b不共线的前提下，c能用a与b来表示．c＝xa＋yb，其中(x，y)是唯一的有序实数对． 1．共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb． 2．如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使． ＋y＝x 向量c与a，b共面的充要条件是在a，b不共线的前提下才成立，若a与b共线，则不成立． 　空间向量基本定理 1．平面向量的基底要求两个基向量不共线，分析空间的任意向量a，如果能用空间向量表示，那么需要几个向量？这几个向量位置关系如何？ 提示：空间中的任意一个向量可用不共面的三个向量表示． 2．基向量和基底一样吗？0能否作为基向量？ 提示：基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量，由于0与任意一个向量共线，与任意两个向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0. 1．空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． 空间向量基本定理中，p用a，b，c表示的表达式p＝xa＋yb＋zc唯一．特别地，当a，b，c不共面时，可知 xa＋yb＋zc＝0⇔x＝y＝z＝0. 2．基底和基向量 (1)表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式．如果三个向量a，b，c不共面，则它们的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量． (2)空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底．此时，a，b，c都称为基向量．如果p＝xa＋yb＋zc，则xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式． 1．用空间三个不共面的已知向量组{a，b，c}可以线性表示出空间中的任意一个向量，而且表示的结果是唯一的． 2．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底． 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间向量的基底是唯一的．(　　) (2)若a，b，c是空间向量的一组基底，则a，b，c均为非零向量．(　　) (3)已知A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N共面．(　　) ，， (4)若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则有x＝y＝z＝0.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有(　　) A．a与b共线　　　　　　 B.a与b同向 C．a与b反向 D.a与b共面 解析：由空间向量基本定理可知只有不共线的两个向量才可以做基底，B、C都是A的一种情况，空间中任意两个向量都是共面的，故D项错误． 答案：A 3．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有6，则(　　)＋3＋2＝ A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面 C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面 解析：由6共面，又它们有公共点P，因此，P，A，B，C四点共面．，，，故＋3＝2)，即－)＋3(－＝2(－，得＋3＋2＝ 答案：B 4．如果空间向量a，b不共线，且a－yb＝xa＋3b，则x＝________，y＝________． 解析：∵a，b不共线，且a－yb＝xa＋3b， ∴(x－1)a＋(y＋3)b＝0. ∴解得 答案：1　－3 共线向量定理的应用(小组探究) INCLUDEPICTURE "backup/例1.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量是否共线？＋与 【尝试解答】　设AC中点为G，连接EG，FG， ∴， ＝，＝ 又∵共面， ，， ∴)．＋(＝＋＝＋＝ ∴共线．＋与 eq \a\vs4\al() 1．向量共线问题主要是利用共线向量基本定理及向量共线的充要条件论证向量所对应的直线是否平行或者判断两个向量是否共线，这常作