1.1.1 第2课时 空间向量的数量积-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

第2课时　空间向量的数量积 1．理解空间向量求角的意义及表示方法，重点培养直观想象核心素养． 2．掌握空间向量的数量积的定义及其性质，并能简单应用，重点提升数学运算核心素养． 　空间向量的夹角 1．在空间中如何作出两个非零向量a，b的夹角？ 提示：对于两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，分别作＝b，则∠AOB就是两向量a，b的夹角．＝a， 2．为使两个向量的夹角是唯一确定的，两向量夹角的范围应规定为多少合适？ 提示：通常规定两向量的夹角0≤〈a，b〉≤π，这样能使两个向量的夹角是唯一确定的． 1．空间向量夹角的概念 平面内， 给定两个非零向量a，b，任意在平面内选定一点O，作＝b，则大小在[0，π]内的∠AOB称为a与b的夹角，记作〈a，b〉．＝a， 2．空间向量夹角的范围 由于空间中任意两个向量都一定是共面的，因此，空间中两个非零向量之间的夹角也可按类似上述的方式定义，但“任意在平面内选定一点”应改成“任意在空间中选定一点”．特别地，如果〈a，b〉＝，则称向量a与b互相垂直，记作a⊥b；为了方便起见，仍约定零向量与任意向量都垂直． 　空间向量的数量积 1．类比平面向量的数量积，要求空间向量a，b的数量积，应分别计算哪些量？ 提示：要求向量a，b的数量积需分别计算出向量a，b的模|a|，|b|和它们的夹角，再利用公式求出向量a，b的数量积． 2．空间向量a，b的数量积是实数还是向量？公式中a·b中的圆点能否省略？ 提示：两向量的数量积，其结果是一个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积．其中a·b中的圆点是数量积运算的符号，不能省略也不能用“×”代替． 1．空间向量数量积的概念 空间中，两个非零向量a与b的数量积(也称为内积)定义为 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 而且，两个向量数量积的几何意义与投影有关，如图所示，过a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′，a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积．特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0. 2．空间向量数量积的性质 (1)a⊥b⇔a·b＝0； (2)a·a＝|a|2＝a2； (3)|a·b|≤|a||b|； (4)(λa)·b＝λ(a·b)； (5)a·b＝b·a(交换律)； (6)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 对空间向量数量积的理解 (1)两个空间向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零； (2)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律，即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立． (3)若a·b＝k(k≠0)，则不能得出a＝，即空间向量不能进行除法运算． 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a，b是空间非零向量，则〈a，－b〉＝〈－a，b〉＝－〈a，b〉．(　　) (2)若a，b，c是空间向量，则(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　) (3)若a，b，c是空间向量，且a·b＝a·c，则b＝c.(　　) (4)若a·b＝±|a||b|，则空间向量a，b是共线向量．(　　) (5)若a，b是空间非零向量，则(a·b)2＝a2b2.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× 2．|a＋b|＝|a－b|的充要条件是(　　) A．a＝0或b＝0　　　　　　 B.a∥b C．a·b＝0 D.|a|＝|b| 答案：C 3．下列式子正确的是(　　) A．|a|·a＝a2 B.(a·b)2＝a2·b2 C．(a·b)·c＝a·(b·c) D.|a·b|≤|a|·|b| 答案：D 4．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝〉＝(　　)，，则cos〈 A. 　　　 B. C．－　　　 D.0 解析：∵， －＝ ∴＝0， ·－·＝· ∴〈〉＝0.，〉＝90°，故cos〈， 答案：D 求空间向量的夹角(拓展探究) 　(本节例4拓展) (一题多解)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求向量的夹角的大小． 与 【审题指导】　求两个向量的夹角，可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合，从而转化为求平面角的大小；也可以用两个向量的数量积定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，求出cos〈a，b〉＝的值，然后确定〈a，b〉的大小． 【素养立意】　本题主要考查利用空间向量求夹角问题，突出考查直观想象和数学运算核心素养． 【尝试解答】　解法一　因为的夹角．与，所以∠D1AC即为向量＝ 因为△D1AC为等边三角形，所以∠D1AC＝60°，即〈〉＝60°.， 所以向量的夹角为60°.与 解法二　设正方体的棱长为1，则 )＋)·(＋＝