1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

1．1　空间向量及其运算 1．1.1　空间向量及其运算 第1课时　空间向量及其线性运算 1．经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的相关概念，重点培养数学抽象核心素养． 2．掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及它们的运算律，重点提升数学运算核心素养． 　空间向量的概念 1．在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，如图所示，向量有何关系？与向量有何关系？向量与向量 提示：向量是相反的向量．与是相等的向量，向量与向量 2．平面向量的有关概念能否推广到空间中． 提示：只要去掉“在平面内”的限定，就都可以原封不动地推广到空间中． 空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 空间中既有大小又有方向的量称为空间向量，其大小称为向量的模(长度)． 零向量 始点和终点相同的向量称为零向量，零向量的方向是不确定的. 单位向量 模等于1的向量称为单位向量，因此，e是单位向量的充要条件是|e|＝1． 相等向量 大小相等、方向相同的向量称为相等的向量．向量a和b相等，记作a＝b. 向量平行 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行(或向量共线)，通常规定零向量与任意向量平行． 向量共面 一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面. 　空间向量的加法运算 　平面向量的加法法则和运算律在空间中是否成立？ 提示：平面向量的加法法则和运算律在空间中仍然成立． 空间向量的加法 空间向量的加法 给定两个平面向量a，b，在该平面内任取一点A，作.＝＋为向量a与b的和向量)．向量a与b的和向量记作a＋b，因此是向量a与b的和(，则＝b，作出向量＝a， 加法运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 　空间向量的线性运算 1．空间中向量a＋a＋a表示的意义是什么？结果是多少？提示：表示与a同方向，长度为|a|的3倍的向量，结果是3a. 2．平面向量中的数乘向量定义及运算律在空间中是否成立？ 提示：平面向量中的数乘向量定义及运算律在空间向量中仍然成立． 1．相反向量 给定一个空间向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作－a. 2．空间向量的减法 空间向量的减法也可以看成向量的加法，即 a－b＝a＋(－b)， 也就是：一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量． 3．数乘向量 同平面中的情形一样，给定一个实数λ与任意一个空间向量a，规定它们的乘积是一个空间向量，记作λa，其中： (1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向： ①当λ>0时，与a的方向相同； ②当λ<0时，与a的方向相反． (2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0． 上述实数λ与空间向量a相乘的运算简称为数乘向量． 4．线性运算的运算律 同平面向量一样，空间向量的加法、减法与数乘运算，以及它们的混合运算，统称为空间向量的线性运算，空间向量的线性运算满足如下运算律： 对于实数λ与μ，向量a与b，有 (1)λa＋μa＝(λ＋μ)a， (2)λ(a＋b)＝λa＋λb． 1．实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±a等无法运算． 2．任何实数与向量的积仍是一个向量，空间向量的数乘运算可以把向量a的模扩大(当|λ|>1时)，也可以缩小(当|λ|<1时)；可以不改变向量a的方向(当λ>0时)，也可以改变向量a的方向(当λ<0时)． 3．注意实数与向量的乘积的特殊情况；当λ＝0时，λa＝0；当λ≠0时，若a＝0，则λa＝0. 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．(　　)与向量 (2)空间两向量共线是指表示它们的有向线段在同一条直线上．(　　) (3)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2.如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1，在下列选项中，与相等的向量是(　　) A.　　　　　　 B. C. D. 解析：根据相等向量的定义，和，故选C.，，相等的向量有 答案：C 3．化简所得的结果是(　　)＋－ A. B. C．0 D. 解析：＝0.＋＝＋－ 答案：C 4．如图所示空间四边形ABCD中，连接AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，则等于(　　)＋－ A. B.3 C．3 D.2 解析：.＝3 ＋2 ＝＋＝－)＝－－(＝＋－ 答案：B 空间向量的相关概念(小组探究) 　(1)(多选题)下列说法中不正确的是(　　) A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反 B．若向量