1.2.5 空间中的距离-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

1．2.5　空间中的距离 1．理解空间两点的距离，点到平面的距离、直线与平面的距离的概念，重点培养数学抽象核心素养． 2．能够用向量法求空间中的距离问题，重点提升数学运算，逻辑推理核心素养． 　空间中两点之间的距离 　在义务教育阶段，我们已经学过了点与点、点与直线、两平行线之间的距离，根据定义可以知道，这些距离都可以归结什么与什么的距离？ 提示：都可以归结为点与点的距离，而且是所有的点与点之间最短连线的长度． 空间中两点之间的距离指的仍是这两个点连线的线段长，因为向量的长度表示的是向量的始点与终点之间的距离，因此可通过向量来求空间中两点之间的距离． 　点到直线的距离 点与直线上的点之间的连线段中哪个最短？ 提示：垂线段最短． 　点到直线的距离：给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到直线l的距离，点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度． 　点到平面的距离 如图正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为1. (1)点A到平面A1B1C1D1的距离是多少？ (2)点A到平面BB1D1D的距离是多少？ 提示：(1)1　(2) 1．点到平面的距离：给定空间中的平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到平面α的距离．点到平面的距离也是这个点与平面内点的最短连线的长度． 2．一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内的一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离： d＝． 　相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 如图正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为1. (1)线段AB所在直线与线段AD1所在平面和线段B1C所在平面有什么关系？ (2)线段AD1所在直线和线段B1C所在直线的公垂线段与AB有什么关系？ 提示：(1)都垂直；(2)平行且相等。 1．定义 当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离；当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离．一般地，与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段．显然，两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长． 2．向量法求直线与平面、平面与平面的距离 (1)直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A和B分别是l上和平面α内的点，则直线l与平面α之间的距离为：d＝． (2)平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α与平面β内的点，则平面α与平面β之间的距离为：d＝． 1．若O为坐标原点，＝(0，1，0)，则线段AB的中点P到点C的距离为(　　)＝(3，2，8)，＝(1，1，－2)， A.　　　　　　 B.2 C. D. 解析：由题意.＝|＝，|＝－＝，)＝＋(＝ 答案：D 2．已知矩形ABCD的一边CD在平面α内，AC与α所成的角为60°，若AB＝2，AD＝4，则AB到α的距离为(　　) A. B. C. D.3 解析：如图，作AE⊥α于点E，又AC＝，＝2 所以AE＝ACsin 60°＝. 答案：A 3．过Rt△ABC的直角顶点C作线段CD垂直于这个三角形所在的平面α，已知CA＝3，CB＝4，CD＝1，则点D到直线AB的距离为________． 解析：如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz. 则相关各点坐标为D(0，0，1)，A(3，0，0)，B(0，4，0)．点D到AB的距离为d＝|〉， ，|·sin〈 又cos〈〉＝， ＝， ＝ 从而sin〈， 〉＝， 所以d＝|〉＝2.6， ，|·sin〈 所以点D到AB的距离是2.6. 答案：2.6 4．已知平面α的一个法向量为n＝(1，1，1)，原点O(0，0，0)在平面α内，则点P(4，5，3)到α的距离为________． 解析：.＝4＝＝＝(4，5，3)，点P到平面α的 距离为 答案：4 求两点之间的距离(小组探究) INCLUDEPICTURE "backup/例1.TIF" \* MERGEFORMAT 　(本节例1改编)如图所示，在二面角α­l­β的棱上有两点A，B，点C，D分别在α、β内，且AC⊥AB，∠ABD＝45°，〈〉＝60°.AC＝BD＝AB＝1，求C，D间的距离．， 【尝试解答】　∵， ＋＋＝ AC＝BD＝AB＝1， AC⊥AB，∠ABD＝45°，〈〉＝60°， ， ∴|， )＝3＋2(0＋1×1×cos 135°＋1×1×cos 120°)＝2－·＋·＋·2＋2(2＋2＋|2＝ ∴|. ，即C，D间的距离为|＝ eq \a\vs4\al() 求空间两点间距离的主要方法 (1)建立空间直角坐标系，求出两点的