1.2.4 二面角-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

1．2.4　二面角 1．掌握二面角的概念、二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角，重点培养直观想象核心素养． 2．掌握求二面角大小的基本方法，重点提升数学运算、逻辑推理核心素养． 　二面角及其度量 我们在地理学科中学习的经度和纬度有什么区别？黄赤交角指的是什么？ 提示：经度是面面的交角，纬度是线面所成的角；黄赤交角指的是黄道平面(既地球公转的轨道所在平面)与赤道平面之间的夹角，它的大小为23°26′. 1．二面角的概念 平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做一个半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面． 2．二面角的平面角 如图所示，在二面角α­l­β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小．特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角． 我们约定，二面角及其平面角的大小不小于0°，不大于180°.而且，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小，这样约定后，一个二面角的大小及两个相交平面所成角的大小都是唯一确定的． 面积射影法 如图所示，已知二面角α­l­β的大小为θ.，在平面α内有△ABC，它在平面β内的射影为△A′BC，它们的面积分别为S，S′，则有cos θ＝ 将此结论推广为：设平面α内的任一平面图形的面积为S，它在平面β内正射影的面积为S′，则cos θ＝. 　用空间向量求二面角的大小 1．设ν1，ν2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ.则θ与〈ν1，ν2〉有什么关系？ 提示：θ＝〈ν1，ν2〉或θ＝π－〈ν1，ν2〉． 2．如果ν是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ与〈ν，n〉有什么关系？ 提示：θ＝.－〈ν，n〉或θ＝〈ν，n〉－ 设二面角的大小为θ，n1，n2为两个非零向量 (1)当n1∥α，n2∥β，n1∥l，n2⊥l，且n1，n2的方向分别与半平面α，β的延伸方向相同，则θ＝〈n1，n2〉； (2)当n1⊥α，n2⊥β，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．特别地sin θ＝sin〈n1，n2〉． 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角．(　　) (2)若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或120°.(　　) 答案：(1)×　(2)√ 2．三棱锥A­BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A­BD­C的大小为(　　) A.　　　　　　 B. C.或 D.或 解析：因为二面角的范围是[0，π]，所以二面角A­BD­C的大小为.或 答案：C 3．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy所成角的余弦值为________． 解析：由题得＝(－1，0，3)， ＝(－1，2，0)， 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)． 则.＝，平面xOy的一个法向量为a＝(0，0，3)，由此易求出平面ABC与平面xOy所成角的余弦值为，则平面ABC的一个法向量为n＝令x＝2，得y＝1，z＝ 答案： 4．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面为正三角形，若AA1＝AB＝1，E为棱BB1的中点，则平面AEC与平面ABC所成角的大小为________________． 解析：取AC中点D，则∠BDE为平面AEC与平面ABC所成角的平面角，∵tan∠BDE＝， ＝ ∴∠BDE＝30°. 答案：30° 几何法求二面角的大小(综合探究) INCLUDEPICTURE "backup/例1.TIF" \* MERGEFORMAT 　(本节例1、例2综合)将一副三角板按如图所示的方法拼接，设BC＝6，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠BDC＝60°，再把三角板ABC沿BC折起，使两块三角板所在的平面互相垂直． (1)求证：平面ABD⊥平面ACD； (2)求二面角A­BD­C的正切值． 【审题指导】　(1)已知平面ABC⊥平面BCD，利用面面垂直的性质和判定定理易证得； (2)取BC的中点O，连接AO，过点O作OE⊥BD于点E，连接AE，利用三垂线定理易证∠AEO为二面角A­BD­C的平面角． 【素养立意】　本题主要考查运用垂直关系求二面角的大小，突出考查逻辑推理核心素养． 【尝试解答】　(1)证明　∵二面角A­BC­D是直二面角，CD⊥BC， ∴由面