1.2.3 直线与平面的夹角-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

1．2.3　直线与平面的夹角 1．理解直线与平面的夹角的定义，并能用向量语言表述直线与平面的夹角，重点培养直观想象核心素养． 2．能利用向量方法解决直线与平面的夹角问题，重点提升逻辑推理、数学运算核心素养． 　直线与平面的夹角 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中， (1)AC1与B1C所成的角的大小为________； (2)B1C与平面AC所成的角的大小为________． 提示：(1).；(2) 1．直线与平面所成的角 (1)如果一条直线与一个平面垂直，则称这条直线与这个平面所成的角为90°． (2)如果一条直线与一个平面平行，或直线在平面内，则称这条直线与这个平面所成的角为0°． (3)平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线与这个平面所成的角． 2．斜线与平面所成的角的性质 如图所示，设AO是平面α的一条斜线段，O为斜足，A′为A在平面α内的射影，而OM是平面α内的一条射线，A′M⊥OM.记∠AOA′＝θ1，∠A′OM＝θ2，∠AOM＝θ. (1)cos θ＝cos_θ1cos_θ2． (2)平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成的角的最小角(常称最小角定理)． (3)空间中任意一条直线与任意一个平面所成的角的大小都是确定的，直线与平面所成的角也称为它们的夹角； (4)经过平面外一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等． 1．公式cos θ＝cos θ1·cos θ2 也叫“三余弦”公式，θ1，θ2，θ分别是斜线与射影、射影与平面内的直线、斜线与平面内的直线所成的角． 2．在以上公式中，令θ2＝90°，则cos θ＝cos θ1·cos 90°＝0.∴θ＝90°，即当A′O⊥OM时，AO⊥OM，此即三垂线定理；反之，若令θ＝90°，则cos θ1·cos θ2＝0.∵θ1≠90°，∴θ2＝90°.即若OM⊥AO，则A′O⊥OM，此即三垂线定理的逆定理，由此可知三垂线定理及其逆定理可以看成是此公式的特例． 　用空间向量求直线与平面的夹角 ν1，ν2是空间中两条直线l1，l2的两个方向向量，θ是两条直线所成的角，θ与〈ν1，ν2〉有什么关系？ 提示：θ＝〈ν1，ν2〉或θ＝π－〈ν1，ν2〉． 如果ν是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ.则 (1)θ＝． －〈ν，n〉或θ＝〈ν，n〉－ (2)cos θ＝sin〈ν，n〉或sin θ＝|cos〈ν，n〉|． 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(　　) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　　) (3)两异面直线夹角的范围是.(　　)，直线与平面所成角的范围是 答案：(1)×　两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角或其补角． (2)×　直线的方向向量与平面的法向量所成的角α与直线与平面所成的角θ的关系是θ＝. (3)√ 2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量，法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为(　　) A．30°　　　　　　　 B.60° C．120° D.150° 解析：由cos〈m，n〉＝－，得〈m，n〉＝120°， ∴直线l与平面α所成的角为|90°－120°|＝30°. 答案：A 3．已知点P是正三角形ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝，AB＝1，则PC和平面ABC所成的角是(　　) A．90° B.60° C．45° D.30° 解析：设P点在平面ABC上的射影为O，则O为外心，且AB⊥OC， ∴∠PCO即为所求．由题可得OC＝，∴∠PCO＝30°.，∴cos∠PCO＝，PC＝＝× 答案：D 4．设ABCD、ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥平面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角等于________． 解析：如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，F(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，1，0)， ∴＝(0，－1，1)．＝(1，1，0)， ∴＝－1.· 设AC与BF所成的角为θ. 则cos θ＝|cos〈.〉|＝， ∴θ＝60° 答案：60° 定义法求直线与平面的夹角(小组探究) 　如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°. (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)若D为PB的中点，试求AD与平面PAC夹角的正弦值． 【尝试解答】　(1)证明　因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC. 所以PA⊥BC. 又∠BCA＝90°，所以AC⊥BC. 又AC⊂平面PAC. PA⊂平面PAC，P